ПАРАБОЛОИД ВРАЩЕНИЯ

Доказанное свойство касательной к параболе имеет очень важное значение, так как из него следует, что лучи, исходящие из фокуса вогнутого параболического зеркала, т. е. такого зеркала, поверхность которого полу­чается от вращения параболы вокруг ее оси, отражаются параллельным пучком, а именно параллельно оси зеркала (рис).

Это свойство параболических зеркал применяется при устройстве прожекторов, в фарах любого автомобиля, а также в зеркальных телескопах. При этом в последнем случае, обратно, лучи, идущие от небесного светила; почти параллельно, сосредоточиваются около фокуса зеркала телескопа, и так как лучи, идущие от разных точек светила, намного непараллельны, то они сосредоточиваются около фокуса в разных точках, так что около фокуса получается изображение светила, тем большее, чем больше фокусное расстояние параболы. Это изображение уже рассматривается в микроскоп (окуляр телескопа). Строго говоря, только лучи, строго параллельные оси зеркала, собираются в одну точку (в фокус), параллельные же лучи, идущие, под углом к оси зеркала, собираются лишь почти в одну точку, причем, чем дальше эта точка от фокуса, тем изображение более размытое. Эго обстоятельство ограничивает «поле зрения телескопа».

Пусть внутренняя поверхность его - зеркальная поверхность- это параболическое зеркало освещается пучком лучей света параллель­но оси ОУ. Все лучи, параллельные оси ОУ, после отражения пе­ресекутся в одной точке оси ОУ (фокус F). На этом свойстве осно­вано устройство параболических телескопов. Лучи от далёких звёзд приходят к нам в виде параллельного пучка. Изготовив параболи­ческий телескоп и поместив в его фокус фотопластинку, мы получаем возможность, усилить световой сигнал, идущий от звезды.

Этот же принцип лежит в основе создания параболической антенны, позволяющей усилить радиосигналы. Ес­ли же поместить в фокусе параболического зеркала источник света, то после отражения от поверхности зеркала лучи, идущие от этого источника, не будут рассеиваться, а соберутся в узкий пучок парал­лельно оси зеркала. Этот факт находит применение при изготовле­нии прожекторов и фонарей, различных проекторов, зеркала кото­рых изготавливают в форме параболоидов.

Отмеченным выше оптическим свойством параболического зеркала пользуются при создании зеркальных телескопов, различных солнечных нагревательных уста­новок, а также прожекторов. Поместив в фокусе параболического зеркала мощный точечный источник света, мы получим плотный поток отраженных лучей, парал­лельных оси зеркала.

При вращении параболы вокруг ее оси получается фигура, которую называют параболоидом. Если внутреннюю поверхность параболоида сделать зеркальной и направить на нее пучок лучей, параллельных оси симметрии параболы, то отраженные лучи собе­рутся в одной точке, которую называют фокусом. В то же время если источник света поместить в фокусе, то отраженные от зер­кальной поверхности параболоида лучи окажутся параллельными и не рассеиваются.

Первое свойство позволяет получить в фокусе параболоида вы­сокую температуру. Согласно легенде это свойство использовал древнегреческий ученый Архимед (287-212 гг. до н. э.). При защи­те Сиракуз в войне против римлян он построил систему параболи­ческих зеркал, которая позволила сфокусировать отраженные сол­нечные лучи на кораблях римлян. В результате температура в фокусах параболических зеркал ока­залась настолько высокой, что на кораблях вспыхнул пожар и они сго­рели.

Второе свойство используется, например, при изготовлении прожекторов и автомобильных фар.

 

Гипербола

4. Определение гиперболы дает нам простой способ построения ее непрерывным движением: возьмем две нити, разность длин которых равна 2а, и прикрепим по одному концу этих нитей к точкам F' и F. Если держать рукой два других конца соединенными вместе и водить вдоль нитей острием карандаша, заботясь о том, чтобы нити были прижаты к бумаге, натянуты и со­прикасались, начиная от чертящего острия до места соединения концов, то острие начертит часть одной из ветвей гиперболы (тем большую, чем длиннее взяты нити) (Рис.).

Поменяв ролями точки F' и F, получим часть другой ветви.

Например, на тему «Кривые 2-го порядка» можно рассмотреть следующую задачу:

Задача. Две железнодорожные стан­ции А и В находятся на расстоянии s км одна от другой. В любую точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом (первый путь), либо по железной дороге до стан­ции В, а оттуда автомобилями (второй путь). Железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m рублей, тариф автотранспорта – n рублей, n > m, тариф погрузки-разгрузки - k рублей. Определить область влия­ния железнодорожной станции В, т.е, ту область, в которую дешевле доставить груз со станции А смешанным пу­тем — по железной дороге, а затем автотранспортом, т.е. определить геометри­ческое место точек, для которых второй путь выгоднее первого.

Решение. Обозначим AM = r , BM = г , тогда стоимость доставки (перевозки и погрузки-разгрузки) по пути AM равна nr + k, а стоимость достав­ки по пути АВМ равна ms + 2k + nг . Тогда точки М, для которых обе стоимости равны, удовлетворяют уравне­нию nr + k = ms+2k+nг , или

ms + k = nr - nг

r - г = = const > О,

следовательно, линия, ограничивающая область, - одна из ветвей гиперболы | r - г | = const. Для всех точек плоскости, лежащих по одну сторону с точкой А от этой гиперболы, более выгоден первый путь, а для точек, лежащих по другую сторону, - второй, поэтому ветвь гиперболы очерчивает область влияния станции В.

Вариант данной задачи.

Две железнодорожные стан­ции А и В находятся на расстоянии l км одна от другой. В точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом, либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (рис. 49). При этом железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m руб­лей, погрузка — разгрузка обходится в k рублей (за 1 т) и тариф автотранспорта — n рублей (n > m). Определим так назы­ваемую зону влияния железнодорожной стан­ции В, т. е., ту зону, в которую дешевле доставлять груз из А смешанным пу­тем: по - железной дороге и затем автотранспортом.

Решение. Стоимость доставки 1 т груза по пути AM составляет r n, где r = AM, а по пути AВМ она будет равна 1m + k + r n. Нам надо решить двой­ное неравенство r n 1m+ k+ r n и определить, как распределятся точки на плоскости (х, у), в которые дешевле доставлять груз либо первым, либо вторым путем.

Найдем уравнение линии, образующей границу между этими двумя зонами, т. е. геометрическое место точек, для которых оба пути «равно выгодны»:

r n = 1m+ k+ r n

Из этого условия получаем r - r = = const.

Следовательно, линия раздела гипербола. Для всех внешних точек этой гипер­болы более выгоден первый путь, а для внутренних — второй. Поэтому гипербола и очертит зону влияния станции В. Вторая ветвь гиперболы очертит зону влияния станции А (груз доставляется со станции В). Найдем параметры нашей гиперболы. Ее большая ось 2а = , а расстояние между фокусами (которыми являются станции А и В) в данном слу­чае 2с = l.

Таким образом, условие возможности этой задачи, определяемое соотношением a < с, будет

или , n m

Данная задача связывает абстрактное геометрическое понятие гиперболы с транспортно-экономической задачей.

 

Искомое геометрическое место точек есть множество точек, лежащих внутри правой ветви гиперболы, содержащей точку В.

6. В курсе «Сельхозмашин» важными эксплуатационными характеристиками работающего на склоне трактора, показывающими его устойчивость, являются угол продольного наклона и угол поперечного крена.

Будем рассматривать для простоты колесный трактор. Поверхность, на которой работает трактор (по крайней мере, ее достаточно малую часть), можно считать плоскостью (плоскость движения). Продольной осью трактора называется проекция прямой, соединяющей середины передней и задней оси, на плоскость движения. Углом поперечного крена называется угол, образованный с горизонтальной плоскостью прямой, перпендикулярной продольной оси и лежащей в плоскости движения.

При изучении в курсе математики темы «Прямые и плоскости в пространстве» рассматриваем задачи:

а) Найти угол продольного наклона трактора, движущегося по склону, если известен угол подъема склона и угол отклонения траектории трактора от продольного направления.

б) Предельным углом поперечного крена трактора называется наибольший допустимый угол наклона склона, поперек которого может стоять трактор, не опрокидываясь. Какие параметры трактора достаточно знать для определения предельного угла поперечного крена; как найти этот
угол?

7. Наличие прямолинейных образующих используется в строительной технике. Основоположником практическо­го применения этого факта является известный рус­ский инженер Владимир Григорьевич Шухов (1853—1939). В. Г. Шухов осуществил конструкции мачт, башен и опор, составленных из металлических балок, располагающих­ся по прямолинейным образующим однополостного гипер­болоида вращения. Высокая прочность таких конструк­ций в соединении с легкостью, невысокой стоимостью из­готовления и изяществом обеспечивает широкое распрос­транение их в современном строительстве.

8. ЗАКОНЫ ДВИЖЕНИЯ СВОБОДНОГО ТВЕРДОГО ТЕЛА

Для свободного тела равно возможны все виды движения, но это еще не значит, что движение свободного тела является беспорядочным, не подчиняющимся никаким законам; наоборот, поступательное движе­ние твердого тела независимо от его внешней формы стесняется зако­ном о центре массы и сводится к движению одной точки, а вращатель­ное— так называемыми главными осями инерции или эллипсоидом инерции. Так, палка, брошенная в свободное про­странство, или зерно, вылетающее из сортировки и т. д., движется поступательно, как одна точка (центр масс), а в то же время вращается около центра массы. Вообще при поступательном движении всякое твер­дое тело независимо от его формы или сложную машину можно заме­нить одной точкой (центром массы), а при вращательном — эллипсоидом инерции, радиусы-векторы которого равны ——, где / — момент инерции этого тела относительно осей, проходящих через центр эллипсоида.

Если момент инерции тела во время вращения почему-либо изменяется, то соответственно будет изменяться и скорость вращения. Например, во время прыжка через голову акроба­ты сжимаются в комок, отчего момент инерции тела уменьшается, а ско­рость вращения увеличивается, что и нужно для успеха прыжка. Точно так же, поскользнувшись, люди вытягивают руки в стороны, отчего мо­мент инерции увеличивается, а скорость вращения уменьшается. Точно так же переменным является момент инерции грабли жнеи около верти­кальной оси во время ее поворота около горизонтальной оси.