Прикладные задачи

1. Используя уравнение прямой с угловым коэффициентом (уклоном) в виде у = кх, начертить профиль пути, определенного данными, приведенными в таблице.

Уклон к	0,1	0,2		-0,2	0,25
Длина участка, км	0-2	2-3,5	3,5-5	5-7	7-10

2. Населенные пункты А и В находятся на уровне моря у подножия горы. Расстояние между ними по прямой 6 км. Между ними находится горный перевал, на который из А и В ведут автодороги (приблизительно прямолинейные): из пункта А с уклоном 0,15; из пункта В с уклоном 0,25. На какой высоте над уровнем моря находится перевал?

3. На плане автострада совпадает с осью Ох, два поселка обозначены точками: А(4;4)и В(1;2). В каком месте автострады нужно построить автовокзал, удаленный от каждого поселка на одинаковое расстояние.

4. Даны значение уклона к двадцатиметрового участка пути и длины участков пути, на которых уклон практически сохраняет постоянное значение. Начертить профиль пути, определенного данными, представленными в таблице.

Уклон к	0,16	0,20	0,10	0,05	-0,10
Длина участка, км

 

5. Между пунктами А и В по прямой проходит автострада. На плане местности эти пункты имеют координаты (1;5) и (13; 14) (размеры даны в километрах). Объект С с координатами (7; 7) в той же системе надо соединить кратчайшей дорогой с этой автострадой. Найти на автостраде точку вхождения в нее дороги и длину дороги.

6. На плане местности прямолинейный участок железной дороги в соответствующих единицах масштаба задается уравнением у = х + 5, а идущая параллельно автомобильная дорога у = х + 6. Найти расстояние между дорогами.

7. Расходы по перевозке груза двумя разными средствами транспорта (I и II) выражаются соответственно зависимостями: у = 150+50х и у = 250 + 25х, где х - расстояние перевозки в сотнях км, у – транспортные расходы. Постройте графики этих зависимостей и выделите диапазоны расстояний, на которых более экономичным является одно из этих средств.

8. На плане некоторой местности пункты N, М, Р имеют соответственно координаты (в метрах). Пункты N и М соединены шоссейной дорогой. Найти на шоссе точку кратчайшего вхождения дороги из пункта Р и длину этой дороги.

Ответ: X = 358/53, у = 140/53, I = 12-I03

9. Материальная точка М двигалась под действием некоторой силы по окружности х +у - 10х + 6у+9 = 0 против часовой стрелки. Действие силы прекратилось в момент, когда положение точки определилось координатами (2;1). Составить уравнение дальнейшей траектории движения точки М.

10. Точка М двигалась по окружности (х+у) +(у-1) = 20, потом сорвалась с нее и при дальнейшем свободном движении пересекла ось OY в точке А(0; 9). Определить точку окружности, с которой сорвалась точка М.

11. Два предприятия А и В, расстояние между которыми 100 км, производят одинаковые изделия, затрачивая на изготовление каждого изделия р руб. Транспортные расходы на перевозку одного изделия от предприятия А до потребителя равны к руб./км, а от предприятия В - 3k руб./км. Найдите геометрическое место точек расположения пунктов потребления, в которых цена изделий первого и второго предприятий будет одинаковой, если цена складывается из затрат на производство и транспортных расходов. Разделите рынок сбыта этих предприятий.

12. Тяжелую балку длиной L опускают на землю так, что ее нижний конец прикрепляется к вагонетке, а верхний удерживается канатом, намотанный на ворот. Какую линию описывает при этом произвольная внутренняя точка М(х,у) балки?

13. В прожекторах, зеркальных телескопах, фарах автомашин применяются параболические зеркала, в которых используется оптическое свойство параболы; касательная к параболе есть биссектриса угла между фокальным радиусом точки касания и перпендикуляром, опущенным из нее на директрису. Доказать его.

14. Автомобильный фонарь и прожектор имеют вид параболического рефлектора. Где находится фокус параболы осевого сечения рефлектора с диаметром 7,5 см и глубиной 5 см?

Отмеченным выше оптическим свойством параболического зеркала пользуются при создании зеркальных телескопов, различных солнечных нагревательных уста­новок, а также прожекторов. Поместив в фокусе параболического зеркала мощный точечный источник света, мы получим плотный поток отраженных лучей, парал­лельных оси зеркала.

15. Зависимость урожая картофеля у (ц/га) от фотосинтетичес­кого потенциала х (%) выражается прямой, проходящей через начало координат и точку А (2; 450). Запишите уравнение зави­симости.

16. Зависимость величины общей сухой биомассы у (г/м ) картофеля от нарастающей суммы испарения х = выража­ется прямой, проходящей через точки А(160; 0) и В(300; 1100).

Запишите уравнение прямой (АВ). Угловой коэффициент прямой выражает наибольший эффект орошения в период интенсивного роста картофеля.

17. Издержки производства 100 ед. некоторого товара состав­ляют у = 300 руб., а 500 единиц стоят у = 600 руб. Определите функцию издержек производства и стоимость 400 единиц товара при условии, что функция линейная.

18*. После того как были убраны 12 га силосных культур, силосоуборочный комбайн продолжал работать, убирая за каждый час по 1,7 га. Определите графически, сколько гектаров силосных культур было убрано через х часов работы, запишите формулу данной зависимости.

19. Данные о массе зерна х (г) и содержании (%) в нем жира приведены в следующей таблице:

	х	у
	32,5	6,85
	42,5	6,42
	52,5	5,00

Постройте точки и по ним приближенно определите уравнение линейной зависимости у от х.

20. Издержки перевозки двумя средствами транспорта выража­ются соответственно функциями у = 50x+150 и у = 25х + 250, где х — расстояние в сотнях км, у — транспортные расходы в руб. Найдите расстояние, начиная с которого более экономичным будет второе средство. Определите наиболее экономичный вариант перевозок.

21. Для определения калорийности молока можно использо­вать следующее уравнение у = 304,8 + 107,2х,

где х — процент жира в молоке; у — количество килокалорий на 1 кг молока.

Постройте график уравнения, найдите калорийность 1 кг молока графически при х = 3,6, 3,8, 4,0, 4,2.

22. Луч света направлен по прямой у = х - 4. Дойдя до оси абсцисс, он от неё отразился. Определите точку встречи луча с осью и уравнение отражённого луча.

23. Средний урожай люцерны у в зависимости от глубины орошения х характеризуется уравнением

у = 0,0028х + 0,253х + 3,520, где х — в см., у — в ц/га.

Постройте кривую урожайности на интервале [0; 30]. Опре­делите по графику, при каких значениях х урожай будет наибольшим на заданном интервале.

24. Зависимость урожая зерна кукурузы у от запасов продуктивной влаги х выражается уравнением у = -0,006 х + 1,100х—4,200.

Постройте соответствующую кривую. Определите приближенно (по графику), при каких значениях х урожайность равна нулю.

25. Зависимость суточного удоя у (в литрах) от возраста коров х (лет) выражается уравнением у = -9.53 + 6,86х - 0,49 х .

Постройте график зависимости на интервале [2; 14]. Определите по графику, при каком возрасте коров удой максимален.

26. Зависимость прироста высоты растений ежи сборной от исходной влажности до полива в пределах 25—60% наименьшей влагоемкости почвы выражается уравнением у = -215 + 12940/x, где х в %, у— в мм.

Постройте график этого уравнения на интервале [25, 60].

27. Зависимость величины прироста высоты растений клевера красного от исходной влажности почвы до полива (в %) в пределах от 35 до 60% наименьшей влагоемкости выражается уравнением

у = -240 + 15500/x.

Постройте график уравнения на интервале [25; 60] совместно с графиком предыдущей задачи. Что растет быстрее?

28. Количество молока (в литрах), необходимое для получения 1 кг масла, выражается формулой у = 88/x, где х — процент жира в молоке 2 < х < 6.

1) Сколько требуется молока, чтобы получить 5 кг масла при жирности х = 4,2?

2) Какова должна быть жирность молока, чтобы из 20 литров молока получился I кг масла?

29. На заводе расход денежных средств, не зависящий от количества выпускаемой продукции, составляет d руб. в год. Расходы, непосредственно зависящие от количества произведенной продукции, составляют s руб. на каждую единицу продукции. Цена единицы продукции v руб. Сколько единиц продукции должен выпустить завод за год, чтобы получить не менее р руб. годовой прибыли?

30. Населенные пункты С , расположенные на отрезке АВ, снабжаются некоторым товаром как из пункта А, так и из пункта В; 1 т этого товара в А обходится в 5 руб.(по старым ценам), в В - 7 руб. Транспортировка 1 т груза на расстояние 1 км стоит 20 коп. Расстояние между пунктами А и В равно 100 км. Составьте наиболее выгодный план снабжения товаром пунктов С .

31. Затраты на перевозку груза двумя видами транспорта выра­жаются формулами у = 50х + 150, у = 25х + 250, где х - рассто­яние перевозок в сотнях километров, у — транспортные расходы в рублях. Определите, какой вид транспорта выгоднее для пере­возок в зависимости от расстояния перевозок.

32. Затраты при перевозке груза двумя видами транспорта пред­ставим в виде формул: у = 0,15х + 25, у = 0,1х + 30, где х -расстояние в километрах, у - транспортные расходы в рублях. Какой вид транспорта выгоднее для перевозки грузов на 25, 50, 100 и 150 км?

33. При различной технологии изготовления себестоимость партии деталей представим в виде формул: у = 2 + 0,2х и у = 10 + 0,04х, где х — число деталей в партии, у — себестоимость партии деталей в рублях. Определите, какая технология выгоднее и начиная с какого числа деталей партии.

34. Технологической группой рассчитана себестоимость однотипных деталей, изготовленных на различных станках:

а) для токарного f(n) = 0,5 n + 200;

б) для револьверного f(n) = 0,3n + 400;

в) для автоматического f(n) = 0,2n + 600,

где n — число деталей. Установите, при каком числе деталей вы­годнее применять тот или иной станок?

35. Две железнодорожные станции А и В находятся на расстоянии р км одна от другой. В точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями. При этом железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m рублей, погрузка- разгрузка обходится в к рублей за 1 т и тариф автотранспорта - n рублей (n>m). Определить зону влияния железнодорожной станции В, т. е. ту зону, в которую дешевле доставить груз со станции А смешанным путем: по железной дороге и затем автотранспортом.

36. Зеркальная поверхность машинной фары образована вращением параболы вокруг ее оси симметрии. Диаметр зеркала 80 мм, глубина 10 мм. Составить уравнение поверхности, выбрав систему координат, выбрав систему координат так, чтобы ее начало совпадало с вершиной параболы, ось ординат прошла по касательной к ней, а ось абсцисс - через фокус параболы в направлении от вершины.

37. При малых закруглениях, т.е. на закруглениях малого радиуса (горные дороги, трамвайные пути) часто в качестве переходной кривой используется часть лемниската Бернулли. Полярное уравнение этой линии имеет вид: или . Постройте эти линии, взяв а = 4. Преобразуйте уравнение к декартовым координатам. Какого порядка эти линии?

38. Издержки у (в руб.) на изготовление партии деталей определяются по формуле у = ах + в, где х – объём партии. Для первого варианта технологического процесса у = 1,45х + 20. Для второго варианта известно, что у = 157,5 (руб.) при х = 100 (дет.) и у = 452,5 (руб.) при х = 300 (дет.). Провести оценку двух вариантов технологического процесса и найти себестоимость продукции для обоих вариантов при х = 200.

39. Масса у 1м сена, соломы и др. грубых кормов определяется при прочих равных условиях продолжительностью х времени хранения после складывания. Допустим через месяц после укладки 1м сена природных сенокосов весил 52 кг, а через 3 месяца – 62 кг. Предполагая, что в промежутке времени от 0 до 3 месяцев зависимость между х и у графически выражается прямой (строго говоря, такое предположение является условным. В 1-е дни после складирования масса 1м сена возрастает заметно, с течением времени возрастание замедляется и затем практически прекращается. Для учёта этих условий потребовалась более сложная математическая модель). Записать уравнение этой прямой и построить её график. Найти массу 1м сена после 1,5; 2 и 2,5 месяцев её хранения, сначала по графику, а затем с помощью вычислений.

40. Масса у подстилочного навоза от одной головы крупного рогатого скота при одинаковых условиях содержания зависит от длительности стойлового периода х. Так, при стойло­вом периоде в 180 дн. масса навоза на 1 голову составляла 4,5 т, а при длительности периода 240 дн. — 8 т.

Какой выход навоза можно ожидать при стойловом периоде 210 дн., 225 дн., если на основании изучения условий производства можно считать, что в данном промежутке времени масса навоза возрастала пропорционально продолжительности стойлового периода?

41. Для некоторых сортов вики установлено, что при прочих равных условиях продуктивность (урожайность зеленой массы, сена, семян) зависит от массы 1000 семян посевного материала. Так, если масса 1000 зерен составляет 27,5 г, то урожайность зеленой массы составляет 150 ц/га и семян 8 ц/га, а если масса 1000 зерен равна 42.5 г, то соответственно 225 и 15 ц/га.

Считая, что графиком зависимости урожайности зеленой массы и семян от массы 1000 семян на интервале [27,5; 42,5] является прямая, найти уравнения этих прямых и определить урожайность зеленой массы и сена при массе 1000 семян в 30 г.

42. Посевной агрегат с шириной захвата 4 м при сплошном рядовом посеве полевой культуры совершает прямо­линейное движение в северо-восточном направлении под углом 60 к направлению меридиана.

Приняв, что ось Оу совпадает с направлением меридиана и что точка начала движения совпадает с началом координат, записать уравнения прямолинейных участков траектории движения агрегата (рис. 34).

43. При поездке на такси мы платим 20 руб. при включении счет­чика и 20 руб. за каждый километр пути. Запишите формулу зависимости у от х, если у - плата за такси в рублях; х - рас­стояние в километрах. Является ли функция, заданная этой фор­мулой, линейной? Укажите область определения этой функции.

44. Рост урожайности зерновых в колхозе в течение последних пяти лет задан графиком на рис. 1 (по оси у отложена урожай­ность в центнерах, а по оси х - годы). Определите урожай­ность зерновых в колхозе пять лет тому назад. На сколько центнеров ежегодно растет урожайность зерновых в колхозе? В каком году урожайность достигнет 23 ц с 1 га? Что означают координаты 3 и 21 точки N? Запишите формулу, выражающую урожайность зерновых в колхозе через х лет.

45. Отправляя телеграмму, мы платим 20 руб. за почтовые услуги и 5 руб. за каждое слово текста. Запишите формулу, выражающую зависимость у от х, если у - плата за телеграмму в рублях; х - число слов. Является ли функция, заданная этой формулой, линейной? Укажите область определения этой функции.

46. Представьте в виде функции рост урожайности у некоторой культуры через х лет, если ее начальная урожайность составляет 16 ц и ежегодно будет повышаться на 1,5 ц.

47. Две железнодорожные стан­ции А и В находятся на расстоянии l км одна от другой. В точку М груз можно доставить со станции А либо по прямой автотранспортом, либо по железной дороге до станции В, а оттуда автомобилями (рис. 49). При этом железнодорожный тариф (цена перевозки 1 т на 1 км) составляет m руб­лей, погрузка — разгрузка обходится в k рублей (за 1 т) и тариф автотранспорта — n рублей (n > m). Определим так назы­ваемую зону влияния железнодорожной стан­ции В, т, е, ту зону, в которую дешевле доставлять груз из А смешанным пу­тем: по - железной дороге и затем автотранспортом.

48. Найти высоту арки моста длиной 24 м, если арка имеет вид параболы, уравнение которой х = - 48у.

49. Выкопан котлован параболической формы с диа­метром 80 м и глубиной 10 м. На каком расстоянии от нижней точки котлована по центру находится фокус параболы?

50. Издержки производства 100 ед. некоторого товара состав­ляют у = 300 руб., а 500 единиц стоят у = 600 руб. Определите функцию издержек производства и стоимость 400 единиц товара при условии, что функция линейная.

51. После того как были убраны 12 га силосных культур, силосоуборочный комбайн продолжал работать, убирая за каждый час по 1,7 га. Определите графически, сколько гектаров силосных культур было убрано через х часов работы, запишите формулу данной зависимости.

52. Данные о массе зерна х(г) и содержании у (%) в нем жира приведены в следующей таблице:

N	х	у
	32,5	6,85
	42,5	6,42
	52,5	5,00

Постройте точки и по ним приближенно определите уравнение линейной зависимости у от х.

53. Определить рубеж безопасного удаления от снарядов, выпущенных из 30-мм пушки БМП-2 со скоростью 1050 м/ч, если стрельба ведется под разными углами наклона ствола орудия к горизонту.

54. Для определения калорийности молока можно использо­вать следующее уравнение у = 304,8+ 107,2х,

где х — процент жира в молоке; у — количество килокалорий на 1 кг молока.

Постройте график уравнения, найдите калорийность 1 кг молока графически при х =3,6, 3,8, 4,0, 4,2.

55. Аквалангист переплывает реку шириной 100 м, все время направляясь на дерево, которое стоит на другом берегу напротив места старта. Он плывет со скоростью 3 м/сек. Найти уравнение траектории аквалангиста, если течение будет сносить его вниз по реке со скоростью 1 м/сек; 3 м/сек; 4 м/сек.