Метод наименьшего элемента

___________________________________________________________________________

 

ПРИМЕР РЕШЕНИЯ ТРАНСПОРТНОЙ ЗАДАЧИ.

Фирма должна отправить некоторое количество кроватей с трёх складов в пять магазинов. На складах имеется соответственно 15, 25 и 20 кроватей, а для пяти магазинов требуется соответственно 20, 12, 5, 8 и 15 кроватей. Стоимость перевозки одной кровати со склада в магазин приведены в таблице.

Склады	Магазины
B1	B2	B3	B4	B5
A1
A2
A3

Как следует спланировать перевозку, чтобы её стоимость была минимальной?

Построение математической модели

Пусть Х_ij – количество кроватей, отправляемых со склада i в магазин j. Все Х_ij ≥ 0, и в силу ограничений на возможности поставки со складов (предложение) и спрос в магазинах они удовлетворяют следующим условиям:

(для предложения)

(для спроса)

Стоимость перевозок равна:

F = 1*Х₁₁+0*Х₁₂+3*Х₁₃+4*Х₁₄+2*Х₁₅+5*Х₂₁+... +4*Х₃₄+3*Х₃₅.

Таким образом, имеем следующую математическую модель:

Рассмотренная задача является задачей линейного программирования, но специального вида. Её результат можно обобщить на транспортную задачу общего вида.

Метод наименьшего элемента

Сущность метода в том, что на каждом шаге заполняется та клетка оставшейся части таблицы, которая имеет наименьший тариф; в случае наличия нескольких таких равных тарифов заполняется любая из них. В остальном действуют аналогично предыдущему способу.

Построим опорный план.

Исходная транспортная таблица:

Построение второй транспортной таблицы

Находим в таблице наименьшую стоимость перевозки – это 0 в клетке A1B2. Записываем в этой клетке значение 12 (наименьшее из сумм по строке и столбцу).

Теперь вычеркиваем второй столбец, уменьшив сумму в первой строке на 12.

Находим следующую наименьшую по стоимости ячейку – их несколько, например, A1B1. Присваиваем ей значение 3, а сумму по столбцу заменяем на 17.

Вычеркиваем первую строку.

Выбираем ячейку A3B3, присваиваем ей значение 5. Вычеркиваем третий столбец. Сумму по третьей строке заменяем на 15.

Выбираем ячейку A2B5, записываем в ней 15, уменьшаем вторую строку на 15 и вычеркиваем пятый столбец.

Выбираем ячейку A3B1, присваиваем ей 15. Уменьшаем первый столбец на 15 и вычеркиваем третью строку.

Ячейке A2B1 присваиваем 2 и вычеркиваем первый столбец. Сумму по второй строке заменяем на 8.

Ячейке A2B4 присваиваем 8 и вычеркиваем четвертый столбец.

Опорный план построен.

Х₁₁ = 3, Х₁₂ = 12, Х₂₁ = 2, Х₂₄ = 8, Х₂₅ = 15, Х₃₁ = 15, Х₃₃ = 5.

Все остальные Х_ij = 0.

F = 3*1+0*12+5*2+3*8+3*15+5*1 = 147

Найдём теперь оптимальный план для данной задачи.

Для этого воспользуемся методом потенциалов.