Эллипс.

Кривые второго порядка (на плоскости)

Эллипс.

Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, для которых сумма расстояний до двух фиксированных точек плоскости и , называемых фокусами, есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Постоянную сумму расстояний произвольной точки эллипса до фокусов принято обозначать через . Расстояние между фокусами равно .

Если фокусы эллипса совпадают, то он представляет собой окружность.

Расположим эллипс так, чтобы его фокусы лежали на оси абсцисс симметрично относительно оси ординат, то есть (Рис.1). Пусть текущая точка эллипса. В этой системе координат уравнение эллипса имеет вид:

, (1)

где - большая, - малая полуоси эллипса, . Центр симметрии эллипса, определяемого уравнением (2.12.1), совпадает с началом координат. Уравнение вида (1) называется каноническим уравнением эллипса. Это уравнение второй степени, следовательно, эллипс – кривая второго порядка.

Рис.1.

Эксцентриситетом эллипса называется число , равное отношению фокусного расстояния к большой полуоси эллипса. Для эллипса - (для окружности - ). Отрезки и называются фокальными радиусами точки М и могут быть вычислены по формулам и . Если эллипс определен уравнением (1) и , то прямые называются директрисами эллипса (если , то директрисы определяются уравнениями ).