Метод наименьших квадратов в случае промежутка.

Метод наименьших квадратов в случае промежутка.

Пусть теперь функция y=f(x) задана не на стеке узлов, а на отрезке [a,b], и требуется найти её среднеквадратическое приближение в этом промежутке при помощи полинома:

(1)

В этом случае вместо конечной суммы S рассматриваем интеграл:

(2)

Подбираем коэффициенты полинома P_m(x) так, чтобы интеграл I при заданном m принимал наименьшее значение.

Приравнивая нулю частные производные от I по всем a_k, получим следующую систему уравнений:

или в развернутой форме:

(3)

или

т.е.

(4)

Систему (4) запишем и в более привычном виде:

(5)

Определитель этой системы запишется в виде:

(6)

Определитель (6) есть определитель Грамма. Следовательно, , т.к. система функций линейно независима. Таким образом, система (5) имеет и притом единственное решение a₀,a₁,a₂,…,a_m, которое, очевидно, и будет давать наименьшее значение интегралу I.

Подставляя найденное решение в формулу (1), получим искомый многочлен.

Рассмотрим, например, случай, когда отрезок [a,b] совпадает с отрезком [-1;1] и m=4.

Тогда вводя обозначения:

и вычисляя интегралы и вычисляя систему (5) в виде:

Решая ее, находим:

В этом случае, когда при построении приближения функции f(x) при помощи P_m(x) по методу наименьших квадратов, мы по каким-либо соображениям желаем получить в одних частях рассматриваемого промежутка более точное приближение по сравнению с другими его частями, можно поступить следующим образом: интеграл I, определенный равенством («), заменяем интегралом более общего вида:

(6’)

где - специальным образом подобранная неотрицательная функция, называемая весом; при этом в данной точке x должно выбираться тем больше по сравнению со значениями в других точках, отличных от x, чем большая точность приближения интересует нас в данной точке x. В остальном поступаем так же, как и в предыдущем случае.