Характеристики течения в различных областях сопротивления

Режим течения	Область сопротивления	Закон сопротивления	Пределы области	Формула для λтр
Ламинарный	–	h l ~ u	Re < 2300
Турбулентный	Гидравлическая гладкая	h l ~ u1,75		(формула Блазиуса)
	Доквадратичная	h l ~ um, m = 1,75÷2		(формула А.Д. Альтшуля)
	Квадратичная	h l ~ u2	(Re 100 000)	(формула Прандтля – Никурадзе)

 

Ламинарное течение в круглой трубе. Плавное изменение скоростей при ламинарном режиме и удобство задания граничных условий (нулевая скорость у стенки) позволяют исследовать ламинарные потоки аналитически. Рассмотрим, например, ламинарное течение в круглой трубе радиуса r₀ (рис. 11). Определим силы, действующие на объем жидкости в форме цилиндра радиусом г и длиной l. В направлении оси трубы на торцевые поверхности этого цилиндра действуют силы давления p₁πr² и p₂πr², на боковую поверхность – сила τ2πr l (здесь τ – касательное напряжение трения). Приравнивая эти силы, имеем

.

Поскольку в круглой трубе течение осесимметрично и скорость измеряется только по радиусу, выражение для напряжения трения (I.2а) приобретает вид:

.

Для последних выражения дают дифференциальное уравнение, описывающее поперечное распределение скоростей в трубе:

.

Интегрируя его, имеем

.

Постоянную интегрирования С определим из условия на стенке: u = 0 при r = r₀; подставляя в выражение для u, получим формулу Пуазейля (1840):

. (III.2)

Согласно формуле Пуазейля эпюра скоростей в поперечном сечении трубы имеет формулу параболы (рис. 11). Максимальная скорость наблюдается при r = 0, здесь

.

Расход в трубе можно определить интегрированием по сечению трубы элементарных расходов, которые равны произведению скорости (III.2) на площадь элементарного кольца 2πrdr:

. (III.3)

Средняя скорость в трубе

. (III.4)

Из выражения (III.4) легко определить величину гидравлического коэффициента трения λ_тр в формуле Дарси. Действительно, принимал во внимание, что

, , ,

получаем

. (III.5)

Зависимость (III.5) для коэффициента трения при ламинарном течении в круглой трубе приведена в табл. 3. Она хорошо подтверждается опытом.