Отклик на экспоненциальное воздействие

Операторные характеристики линейных цепей

 

 

Во многих случаях воздействующая функция может быть представлена в обобщенной форме

,

где и - комплексные числа:

обобщенная (комплексная) амплитуда ,

обобщенная (комплексная) частота .

В зависимости от величин, определяющих экспоненциальное воздействие, получается тот или иной закон изменения e(t).

Если мнимая часть обобщенной частоты не равна нулю , то

 

и характер воздействующей функции зависит от вещественной части (рис. 1.64):

а) при = 0 ;

 

б) при > 0 ;

 

в) при < 0 ;

 

если , то ;

 

г) при = 0 ;

 

д) при > 0 ;

 

е) при < 0 .

 

 

а г

 

б д

 

в е

Рис. 1.64

 

Таким образом, имеет мнимую часть, которая может быть рассмотрена как угловая частота некоторого гармонического колебания, а вещественная часть, как коэффициент, характеризующий изменение огибающей этого колебания.

Вследствие того что интегрирование и дифференцирование экспоненциальной функции не изменяет её вида, отклик цепи на данное воздействие является экспоненциальной функцией той же частоты, причем отношение отклика цепи к воздействию в этом случае не зависит от времени.

 

При

 

 

Входное сопротивление пассивного линейного двухполюсника

 

 

Полагая s = p, получим выражения для операторных сопротивлений идеализированных элементов цепи, полагая s = jw - выражения для комплексных входных сопротивлений элементов при гармоническом воздействии.

Следовательно, оператор преобразования Лапласа можно рассматривать как обобщенную (комплексную) частоту экспоненциального воздействия вида .

 

 

Понятие об операторных характеристиках

Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения (рис. 1.65).

 

 

Рис. 1.65

 

Операторной, или обобщенной, частотной характеристикой линейной цепи называется отношение операторного изображения отклика цепи Y(p) к операторному изображению внешнего воздействия X(p)при нулевых начальных условиях:

 

 

Операторная характеристика линейной цепи численно равна отношению отклика цепи к внешнему воздействию при внешнем воздействии вида

 

 

Для перехода от операторной характеристики цепи к её комплексной частотной характеристике (КЧХ) необходимо заменить р на jw, т. е. КЧХ есть частный случай обобщенной частотной характеристики при р = jw.

Операторная характеристика цепи определяется только видом цепи и параметрами входящих в неё элементов.

Как и КЧХ, операторные характеристики делятся на входные и передаточные. В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия, а какая в качестве отклика, различают:

1. Операторное входное сопротивление

 

 

 

2. Операторную входную проводимость

 

3.Операторный коэффициент передачи по напряжению

 

 

3. Операторный коэффициент передачи по току

 

 

5. Операторное передаточное сопротивление

 

 

6. Операторную передаточную проводимость