Скалярное произведение векторов в ортонормированном базисе
Теорема 1.6 (формула вычисления скалярного произведения в ортонормированном базисе). В ортонормированном базисе скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат векторов:
— если векторы и относительно ортонормированного базиса на плоскости имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле
— если векторы относительно ортонормированного базиса в пространстве имеют координаты и соответственно, то скалярное произведение этих векторов вычисляется по формуле
Докажем формулу (1.10). Пусть в пространстве задан ортонормированный (стандартный) базис . Скалярные произведения базисных векторов находятся по определению:
Используя линейность скалярного произведения по любому множителю, для векторов и получаем:
Учитывая (1.11), из девяти слагаемых только три отличны от нуля, поэтому
что и требовалось доказать.
|