Векторное произведение векторов.

Определение. Векторным произведением вектора на вектор называется третий вектор , который удовлетворяет следующим трем условиям:

1) и ;

2) тройка векторов является правоориентированной;

3) .

рис.2.

Обозначение: .

Из определения следует, что, если векторы , и отложить от одной точки, то

1) вектор перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы и ;

2) кратчайший поворот вектора к вектору происходит против часовой стрелки, если смотреть "сверху", т.е. со стороны вектора ;

3) длина вектора численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на его сторонах.

Теорема. (Свойства векторного произведения.)

1). Антикоммутативность:

, .

2). Условие коллинеарности векторов:

.

3). Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на его сторонах.

Доказательство. 1) Пусть . Рассмотрим вектор . Этот вектор удовлетворяет всем трем условиям определения векторногопроизведения вектора на вектор .

Действительно, т.к. и , то и и . Далее, тройка векторов является правоориентированной, т.е. кратчайший поворот от вектора к вектору происходит против часовой стрелки, если смотреть на плоскость, в которой лежат векторы и "снизу", т.е. со стороны вектора .

И, наконец, , ч.т.д.

2) Если один из векторов или оба равны нулю, то они коллинеарные и их векторное произведение равно нулевому вектору, тут все очевидно. Пусть векторы и ненулевые. Тогда или , а это в свою очередь равносильно тому, что , ч.т.д.

3) Следует из формулы площади параллелограмма.

Теорема доказана.