Замечания 1.10.

 

1. Для доказательства формулы (1.9) можно использовать следующее соображение. Множество векторов на плоскости со стандартным базисом можно рассматривать как множество таких векторов в пространстве с базисом , у которых аппликата равна нулю. Поэтому формулу вычисления скалярного произведения векторов и можно получить из (1.10), полагая .

 

2. Скалярное произведение можно записать в матричном виде: если и координатные столбцы векторов и в стандартном базисе, то их скалярное произведение находится формуле:

 

Для векторов на плоскости соответственно получаем

 

3. Координаты вектора в ортонормированием базисе равны его скалярным произведениям на соответствующие базисные векторы:

 

В самом деле, подставляя в (1.10) координаты базисного вектора , приходим к первому равенству (остальные равенства получаются аналогично).

 

4. Формулы (1.9) и (1.10) совместно с геометрическими свойствами скалярного произведения имеют многочисленные приложения (см. разд. 1.6.2).

 

 

Пример 1.15. Даны векторы.

 

Найти скалярные произведения.

 

Решение. По формуле (1.10) вычисляем

 

Сравнивая вектор со скалярными произведениями обнаруживаем, что при умножении вектора на базисный вектор получается соответствующая координата данного вектора. Этот результат иллюстрирует пункт 3 замечаний 1.10.

 

 

Для нахождения скалярного произведения можно использовать матричную запись (см. пункт 2 замечаний 1.10). Например, векторам соответствуют координатные столбцы

 

 

Поэтому

 

что совпадает с полученными ранее результатами.

 

 

Пример 1.16. Прямоугольный параллелепипед построен на векторах (см. рис. 1.38). Точка — центр грани , точка делит ребро в отношении . Требуется найти:

 

а) величину угла между векторами и ;

 

б) длину ортогональной проекции вектора на прямую .

Решение. Находим координаты векторов в стандартном базисе :

 

(см. решение примера 1.12)

 

По формуле (1.10) находим скалярные произведения:

 

 

а также длины векторов (см. геометрическое свойство 1 скалярного произведения):

 

Длина была найдена в примере 1.12.

 

Теперь по геометрическому свойству 2 находим косинус искомого угла

 

т.е.

 

Алгебраическое значение длины ортогональной проекции находим по геометрическомусвойству 3: