Теорема 11.8.
Для любых отличных от нуля коллинеарных векторов Доказательство
Пусть Доказательство
Скалярное произведение векторов. Скалярным произведением векторов Для любых векторов · · ·
Скалярное произведение векторов равно произведению их абсолютных величин на косинус угла между ними. Доказательство
Единичные векторы
Любой ненулевой вектор Доказательство
|
и 
существует такое число λ, что 
одинаково направлены и имеют одну и ту же абсолютную величину 
Значит, они равны: 
Если векторы 
Теорема доказана.
Теорема 11.9.
можно единственным образом представить в виде 
Проведем через точки A и B прямые, параллельные векторам 
Они пересекутся в некоторой точке C. Имеем 
Так как векторы 
коллинеарны, то 
так как векторы 
и 
Таким образом, 
существуют числа 
и 
такие, что 
и при этом верно хотя бы одно из соотношений 
Пусть для определенности 
Тогда из равенства 
имеем 
На основании теоремы 11.7 и замечания 11.1 получаем, что векторы 
и 
называется число 
Скалярное произведение векторов 
верно:
таким образом, выражается через длины векторов 
т. е. систему координат можно выбрать любую, а величина скалярного произведения не изменится. Выберем систему координат так, чтобы начало координат совпало с началом вектора 
а сам вектор 
и 0, а вектора 
и 
По определению
и 
имеющие направления положительных координатных полуосей, называются координатными векторами или ортами.
Найдем λ и μ. Умножим обе части равенства скалярно на вектор 
Имеем 
С учетом того, что 
и 
ортогональны, имеем 
Аналогично, умножая равенство на 
получим 
или 
Таким образом, для любого вектора 
