Уравнение неразрывности. Рассмотрим установившееся течение

Рассмотрим установившееся течение. Выделим в потоке элементарную струйку и рассмотрим участок между сечениями 1-1 и 2-2. За время dt в выделенный участок войдет количество жидкости, равное объему цилиндра высотой u₁dt и площадью основания dS₁, т.е. dV₁=u₁dtdS₁. Аналогично, через сечение 2-2 вытекает объем жидкости dV₂=u₂dtdS₂. в силу несжимаемости и сплошности жидкости dV₁= dV₂, т.е.:

u₁dS₁ = u₂dS₂. (1)

Для других сечений струйки можно получить такие же соотношения:

u₁dS₁ = u₂dS₂ = u₃dS₃ = … = u_ndS_n = const = dQ.

Данное уравнение выражает условие неразрывности для элементарной струйки, из которого видно, что через все ее сечения в единицу времени протекает один и тот же объем жидкости. Имеет место:

.

Таким образом, скорости течения в двух сечениях элементарной струйки обратно пропорциональны площадям этих сечений.

Проинтегрируем уравнение (1) по соответствующим сечениям:

.

По определению средней скорости: v₁S₁ = v₂S₂, а для любых сечений:

v₁S₁ = v₂S₂ = v₃S₃ = … = v_nS_n = const =Q. (2)

Это уравнение неразрывности потока, которое показывает, что объемный расход несжимаемой жидкости при установившемся движении сохраняется постоянным вдоль всего потока и равен произведению площади живого сечения потока на среднюю скорость. Из уравнения (2) следует:

,

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих сечений.