Алгоритм приближенного вычисления корня методом хорд.

Исходные данные:

f (x) – функция;

ε; – требуемая точность;

x₀ – начальное приближение.

Результат: x_пр – приближенный корень уравнения f (x) = 0.

Метод решения:

Рассмотрим случай, когда и имеют одинаковые знаки (рис. 11).

 

Рис. 11. Геометрическая интерпретация метода хорд для случая .

 

График функции проходит через точки и . Искомый корень уравнения (точка x^*) нам неизвестен, вместо него возьмет точку х₁ пересечения хорды А₀В₀ с осью абсцисс. Это и будет приближенное значение корня.

В аналитической геометрии выводится формула, задающая уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (х₁; у₁) и (х₂; у₂): .

Тогда уравнение хорды А₀В₀ запишется в виде: .

Найдем значение х = х₁, для которого у = 0: . Теперь корень находится на отрезке . Применим метод хорд к этому отрезку. Проведем хорду, соединяющую точки и , и найдем х₂ - точку пересечения хорды А₁В₀ с осью Ох: .

Продолжая этот процесс, находим: . Получаем рекуррентную формулу вычисления приближений к корню .

В этом случае конец b отрезка остается неподвижным, а конец a перемещается.

Таким образом, получаем расчетные формулы метода хорд:

; . (4)

Вычисления очередных приближений к точному корню уравнения продолжается до тех пор, пока не достигнем заданной точности, т.е. должно выполняться условие: , где - заданная точность.

Теперь рассмотрим случай, когда первая и вторая производные имеют разные знаки, т.е. (рис. 12).

 

Рис. 12. Геометрическая интерпретация метода хорд для случая .

 

Соединим точки и хордой А₀В₀. Точку пересечения хорды с осью Ох будем считать первым приближение корня. В этом случае неподвижным концом отрезка будет являться конец а.

Уравнение хорды А₀В₀: . Отсюда найдем , полагая y = 0: . Теперь корень уравнения . Применяя метод хорд к этому отрезку, получим . Продолжая и т.д., получим .

Расчетные формулы метода:

, . (5)

Условие окончания вычислений: . Тогда х_пр = x_n+1 с точностью .

Итак, если приближенное значение корня находят по формуле (4), если , то по формуле (5).

Практический выбор той или иной формулы осуществляется, пользуясь следующим правилом: неподвижным концом отрезка является тот, для которого знак функции совпадает со знаком второй производной.

Пример 4. Проиллюстрировать действие этого правила на уравнении , если отрезок изоляции корня [2;3].

Решение. Здесь .

; . Вторая производная в этом примере положительна на отрезке изоляции корня [2;3]: , , т.е. . Таким образом, при решении данного уравнения методом хорд для уточнения корня выбираем формулы (4).