Функции спектральной плотности [2,25,26].

Каноническое разложение случайных функций. Введем понятие простейшей случайной функции, которая определяется выражением:

X(t) = X×j(t), (9.2.1)

где Х - обычная случайная величина, j(t) - произвольная неслучайная функция. Математическое ожидание простейшей случайной функции:

m_x(t) = M{Xj(t)}= j(t)×M{X}= j(t)×m_x, (9.2.2)

где m_x - математическое ожидание случайной величины Х. При m_x = 0 математическое ожидание m_x(t) также равно нулю для всех t и функция (9.2.1) в этом случае называется элементарной случайной функцией. Ковариационная функция элементарной случайной функции определится выражением:

K_x(t₁, t₂) = M{X(t₁)X(t₂)}= j(t₁)j(t₂)×M{X²}= j(t₁)j(t₂)×D_x. (9.2.3)

где D_x - дисперсия случайной величины Х.

Центрированную случайную функцию ⁰X(t) можно представить суммой взаимно некоррелированных элементарных случайных функций:

⁰X(t) = X_n×j_n(t), (9.2.4)

Из взаимной некоррелированности элементарных случайных функций следует взаимная некоррелированность величин X_n. Математическое ожидание и ковариационная функция случайной функции ⁰X(t):

M{⁰X(t)}= M{ X_n×j_n(t)}= 0.

K_x(t₁, t₂) = M{⁰X(t₁) ⁰X(t₂)}= M{ X_n×j_n(t₁)X_m×j_m(t₂)}= j_n(t₁)j_m(t₂)M{X_nX_m}.

В силу взаимной некоррелированности парных значений X_nX_m имеет место M{X_nX_m}= 0 при n ¹ m, и все члены суммы в последнем выражении равны нулю, за исключением значений при n = m, для которых M{X_nX_m}= M{X_n²}= D_n. Отсюда:

K_x(t₁, t₂) = j_n(t₁)j_n(t₂)D_n. (9.2.5)

Произвольная нецентрированная случайная функция соответственно может быть представлена в виде

X(t) = m_x(t) + ⁰X(t) = m_x(t) + X_n×j_n(t), (9.2.6)

с математическим ожиданием m_x(t) и с той же самой ковариационной функцией (9.2.5) в силу свойств ковариационных функций, где ⁰X(t) - флюктуационная составляющая случайной функции X(t). Выражение (9.2.6) и является каноническим разложением функции X(t). Случайные величины X_n называются коэффициентами разложения, функции j_n - координатными функциями (базисом) разложения. При t₁ = t₂ из (9.2.5) получаем функцию дисперсии случайной функции X(t):

D_x(t) = [j_n(t)]²×D_n. (9.2.7)

Таким образом, зная каноническое разложение (9.2.6) функции X(t), можно сразу определить каноническое разложение (9.2.5) ее ковариационной функции, и наоборот. Канонические разложения удобны для выполнения различных операций над случайными функциями. Это объясняется тем, что в разложении зависимость функции от аргумента t выражается через неслучайные функции j_n(t), а соответственно операции над функцией X(t) сводятся к соответствующим операциям математического анализа над координатными функциями j_n(t).

В качестве координатных функций (базиса) разложения, как и при анализе детерминированных сигналов, обычно используются гармонические синус-косинусные функции, а в общем случае комплексные экспоненциальные функции exp(jwt). С учетом последнего предварительно рассмотрим особенности представления случайных функций в комплексной форме.

Комплексные случайные функции. В общем случае случайный процесс может описываться комплексной случайной функцией:

Z(t) = X(t) + jY(t), (9.2.8)

где X(t) и Y(t) - действительные случайные функции. Соответственно, математическое ожидание комплексной функции:

m_z(t) = m_x(t)+j×m_y(t). (9.2.9)

Заметим, что комплексное представление случайных функций не более чем удобная для анализа математическая форма их отображения, которая, с использованием выражений Эйлера, всегда может быть переведена в форму вещественных функций. Функции дисперсии, корреляции и ковариации должны представлять собой однозначные и неслучайные вещественные характеристики случайных процессов и функций, независимо от формы их математического представления. Это условие будет выполняться при использовании в выражениях моментов второго порядка операций умножения комплексных функций с комплексно сопряженными функциями. Так, выражение для вычисления корреляционной функции имеет следующий вид:

R_z(t₁, t₂) = M{Z(t₁)×Z*(t₂)}= M{[X(t₁)+jY(t₁)][X(t₂)-jY(t₂)]}=

= M{X(t₁)X(t₂)+Y(t₁)Y(t₂)+j×[Y(t₁)X(t₂)-X(t₁)Y(t₂)]} =

= R_x(t₁, t₂) + R_y(t₁, t₂) + j×[R_yx(t₁, t₂) - R_xy(t₁, t₂)]. (9.2.10)

Если действительные и мнимые части комплексной функции некоррелированны, то R_yx = R_xy = 0 и последний член выражения (9.2.10) также равен нулю.

Аналогичное выражение имеет место и для ковариационной функции. При t₁ = t₂ = t для функции дисперсии комплексной случайной величины имеем:

D_z(t) = M{|Z(t)-m_z(t)|²} = D_x(t) + D_y(t), (9.2.11)

Все приведенные выражения в общем случае могут использоваться для любых комплексных случайных функций с любым физическим смыслом переменной t.

Финитное преобразование Фурье случайных функций. По аналогии с функциями детерминированных сигналов, отдельно взятая на интервале 0-Т реализация x_k(t) стационарного случайного процесса ⁰X(t) может быть представлена в виде ряда Фурье:

x_k(t) = V_x,k(w_n) exp(jw_nt), (9.2.12)

V_x,k(w_n) = (1/T) x_k(t) exp(-jw_nt) dt, (9.2.13)

или, в односторонней тригонометрической форме:

x_k(t) = A_x,k(0) + 2 (A_x,k(w_n) cos(w_nt) + B_x,k(w_n) sin(w_nt)), (9.2.12')

A_x,k(w_n) = (1/T) x_k(t) cos(w_nt) dt, (9.2.13')

B_x,k(w_n) = (1/T) x_k(t) sin(w_nt) dt. (9.2.13'')

где w_n = n×Dw - частоты спектра, Dw = 2p/T - шаг по частоте. Выражения (9.2.13) обычно называют спектральными характеристиками реализаций. Из сравнения выражений (9.2.4) и (9.2.12) нетрудно сделать заключение, что выражения (9.2.12) относится к числу канонических разложений случайных функций, при этом спектральная характеристика V_x,k(w), а равно и ее составляющие A_x,k(w) и B_x,k(w), также являются случайными функциями частоты - единичными реализациями случайных функций V_x(w), A_x(w) и B_x(w). Соответственно, и частотное распределение амплитуд и фаз составляющих гармонических колебаний случайного процесса ⁰X(t) представляет собой случайные функции с соответствующими неслучайными функциями дисперсий.

Если функция ⁰X(t) является дискретной последовательностью случайных величин ⁰X(n×Dt) в интервале по n от 0 до N, то, как это и положено для дискретных преобразований Фурье, расчет спектральных характеристик выполняется в Главном частотном диапазоне (до частоты Найквиста w_N = p/Dt), с заменой в выражениях (9.2.13) интегрирования на суммирование по n и с соответствующим изменением пределов суммирования в выражениях (9.2.12). Данное пояснение сохраняется и на все дальнейшие выкладки.

Спектральные характеристики единичных реализаций случайных процессов интереса, как правило, не представляют и на практике используются довольно редко. Спектральная характеристика случайной функции ⁰X(t), как ансамбля реализаций, может быть определена осреднением функций (9.2.12-13) по реализациям, в результате которого мы получим те же самые функции (9.2.12-13), только без индексов k. При этом в силу центрированности стационарной случайной функции ⁰X(t), мы должны иметь:

M{X(t)} = M{V_x(w_n)} exp(jw_nt) = 0, (9.2.14)

Последнее будет выполняться при условии M{V_x(w_n)} = 0, т.е. математическое ожидание значений спектральной характеристики центрированного стационарного случайного процесса должно быть равно нулю на всех частотах. Другими словами, спектральной характеристики центрированного стационарного случайного процесса не существует. Существуют только спектральные характеристики его отдельных реализаций, которые и используются, например, для моделирования этих реализаций.

Для произвольных нецентрированных случайных процессов X(t), при записи последних в форме X(t) = m_x(t) + ⁰X(t), будем соответственно иметь преобразование Фурье:

m_x(t) + ⁰X(t) ó m_x(w) + V_x(w) = m_x(w),

т.е., по существу, функцию спектра (или спектральной плотности) неслучайной функции математического ожидания случайного процесса, естественно, в пределах той точности, которую может обеспечить выборочный ансамбль реализаций. Это лишний раз подтверждает отсутствие в спектрах случайных процессов какой-либо информации о флюктуационной составляющей процессов, и говорит о том, что фазы спектральных составляющих в реализациях процесса являются случайными и независимыми.

С учетом вышеизложенного, под спектрами случайных процессов (или спектральной плотностью при интегральном преобразовании Фурье) повсеместно понимается не преобразования Фурье собственно случайных функций, а преобразования Фурье функций мощности случайных процессов, поскольку функции мощности не зависят от соотношения фаз спектральных составляющих процессов.

Спектры мощности случайных функций определяются аналогично спектрам мощности детерминированных сигналов. Средняя мощность случайного процесса X(t), зарегистрированного в процессе одной реализации на интервале 0-Т, с использованием равенства Парсеваля может быть вычислена по формуле:

P_T =(1/Т) x²(t) dt = (1/Т) |X_T(f)|² df,

где X(f) – спектральная плотность единичной реализации x(t). При увеличении интервала Т энергия процесса на интервале неограниченно нарастает, а средняя мощность стремится к определенному пределу:

P = W(f) df,

где подынтегральная функция представляет собой спектральную плотность средней мощности данной реализации случайного процесса:

W(f) = |X_T(f)|².

Очень часто это выражение называют просто спектром мощности. Плотность мощности является вещественной, неотрицательной и четной функцией частоты. В общем случае, плотность мощности необходимо усреднять по множеству реализаций, но для эргодических процессов допустимо усреднение по одной достаточно длительной реализации. Средняя мощность любой реализации центрированного процесса равна его дисперсии:

D_x = W(f) df.

Спектр функций случайных процессов. При представлении ковариационной функции на интервале 0-Т, шаг по спектру функции с учетом четности ковариационной функции устанавливается равным Dw = p/T, w_n = n×Dw, а спектр определяется обычно непосредственно по косинусам в односторонней форме:

K_x(t) = D_x(0)/2 + D_x(w_n) cos(w_nt), (9.2.15')

D_x(w_n) = (2/T) K_x(t) cos(w_nt) dt, (9.2.16')

где D_x(w_n) в соответствии с (9.2.5) - дисперсии случайных величин V_x(w_n), а равно и A_x(w_n) и B_x(w_n), в разложениях (9.2.12). В комплексной форме, как обычно:

K_x(t) = D_x(w_n) exp(jw_nt), (9.2.15)

D_x(w_n) = (2/T) K_x(t) exp(-jw_nt) dt, (9.2.16)

Спектры случайных функций всегда ограничены (D(w) ¹ ¥) и неотрицательны (D(w) ³ 0), при двустороннем представлении всегда четные (D(-w) = D(w)). Пример спектров в одно- и двустороннем представлении приведен на рис. 9.2.1.

Рис. 9.2.1. Спектры случайных функций.

Дисперсия стационарного случайного процесса X(t) может определяться по формуле (9.2.15) при t = 0:

D_x = D_x(w_n), (9.2.17)

т.е. дисперсия стационарного случайного процесса равна сумме дисперсий всех случайных гармоник ее спектрального разложения.

Обобщенной характеристикой спектра случайного процесса служит эффективная ширина ковариационного спектра, определяемая по формуле:

DW_k = (Dw/D_max) D_x(w_n) = Dw×D_x/D_max, (9.2.18)

где D_max - максимальное значение функции D_x(w_n). Отметим, что ширина спектра является практической характеристикой случайного процесса, и вычисляется, как правило, для реальных частот по одностороннему спектру процесса. При вычислении по двустороннему спектру, где значение D_max соответственно в два раза меньше, чем в одностороннем спектре, величина DW_k завышается в два раза, если суммирование осуществлять по всему спектру. Поэтому пределы суммирования в выражении (9.2.18) не изменяются вне зависимости от того, какой вид спектра используется.

При использовании предельного перехода T Þ ¥ и соответственно интегралов Фурье в выражениях (9.2.15), двусторонние функции дисперсий D(w_n) заменяются функциями S(w), а односторонние - функциями G(w), которые называют соответственно дву- и односторонними функциями спектральной плотности случайных процессов. Такое же индексирование в научно-технической литературе применяют и для спектров корреляционных функций, а зачастую и для дискретных преобразований ковариационных функций вместо D(w_n), хотя последнее применительно к ковариационным функциям более точно отражает физическую сущность величин. Но оно может считаться вполне приемлемым для сохранения общности математических описаний.

Эффективная ширина спектра для функций спектральной плотности случайных процессов:

DW_k = G_x(f) df /G_x(f)_max = S_x(f) df /S_x(f)_max = K_x(0) /S_x(f)_max. (9.2.18')

Соотношение неопределенности связывает эффективную ширину спектра DW_k с эффективным интервалом ковариации T_k. Для его определения найдем произведение DW_kT_k случайного процесса с использованием формул (9.1.7) и (9.2.18'):

DW_kT_k =2 |K_x(t)|dt /S_x(f)_max. (9.2.19)

Оценка этого произведения и приводит к соотношению неопределенности:

DW_kT_k ³ 1/2. (9.2.20)

Следовательно, с уменьшением эффективной ширины спектра увеличивается эффективный интервал ковариации случайного процесса, и наоборот.

Взаимные спектральные функции. Статистическая связь двух случайных процессов X(t) и Y(t) оценивается по функциям взаимной ковариации K_xy(t) или K_yx(t). Функции взаимной ковариации в общем случае являются произвольными и соответственно функции взаимного спектра представляют собой комплексные выражения:

S_xy(w_n) = (1/T) K_xy(t) exp(-jw_nt) dt, (9.2.21)

при этом:

S_xy(-w) = S_xy^*(w) = S_yx(w).

Квадратурным аналогом нормированной взаимной ковариационной функции или функции коэффициентов ковариации двух процессов (9.1.11) в спектральной области является функция когерентности, которая определяется выражением:

g_xy²(w) = |S_xy(w)|²/(S_x(w)S_y(w)), (9.2.22)

и для любых w удовлетворяет неравенствам

0 £ g_xy²(w) £ 1. (9.2.23)

Функция когерентности обычно используется при анализе линейных систем преобразования входной функции X(t) в выходную функцию Y(t) (рассмотрено ниже).

Теорема Винера-Хинчина. Рассмотрим сигнал q(t), представляющий собой одну реализацию случайного стационарного эргодического процесса длительностью Т. Для сигнала q(t) может быть определен спектр Q(w). Если сдвинуть на t реализацию процесса, то получим спектр Q(w)exp(jwt). Для вещественных сигналов Q(w) = Q*(w), и равенство Парсеваля по энергии взаимодействия двух сигналов

x(t) y*(t) dt = X(f) Y*(f) df.

может быть записано в следующей форме:

q(t)q(t+t) dt = (1/2p) Q(w)Q*(w) exp(jwt) dw.

Поделим обе части данного равенства на Т и перейдем к пределу при Т Þ ¥, при этом в его левой части мы увидим выражение для функции корреляции, а в правой части - преобразование Фурье спектра мощности сигнала:

q(t)q(t+t) dt = |Q(w)|² exp(jwt) dw,

R(t) = (1/2p) W(w) exp(jwt) dw. (9.2.24)

 

Отсюда следует, что корреляционная функция случайного стационарного эргодического процесса представляет собой обратное преобразование Фурье его спектра мощности, и наоборот:

W(w) = R(t) exp(-jwt) dt. (9.2.25)

В этом состоит суть теоремы Винера-Хинчина. Функции W(w) и R(t) являются четными, а соответственно в тригонометрической форме:

R(t) = 2 W(f)cos(2pft) df, W(f) = 2 R(t)cos(2pft) dt.

Так как ковариационные функции стационарных процессов являются частным случаем корреляционных функций, то эти выражения действительны и для ФАК, а, следовательно, спектральные функции случайных процессов, рассмотренные выше как преобразования Фурье ковариационных функций, являются спектрами мощности флюктуирующей составляющей процессов. С этих позиций дисперсия случайных процессов представляет собой среднюю мощность его флюктуаций

K(t=0) = s² = (1/2p) W(w) dw,

т.е., равна суммарной мощности всех его частотных составляющих процессов.

В заключение данного раздела отметим, что спектральные плотности процессов и спектры плотности мощности, это одно и то же понятие. Оба термина используются достаточно широко в научно-технической литературе. Учитывая то обстоятельство, что понятие мощности по своему смыслу больше связано с энергетическими понятиями, а понятие спектральной плотности - с анализом сигналов и систем, при дальнейшем рассмотрении случайных сигналов и процессов будем использовать, в основном, понятие спектральной плотности или (для дискретных величин) спектров случайных сигналов и процессов.