ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ
Пример 4.1. В теле железобетонной плотины проектируются два водоспуска диаметром d и длиной L = 6 м. Уровень воды перед верхним водоспуском H 1 = 6,5 м. Истечение в атмосферу.
Определить диаметр d для пропуска через верхний водоспуск расхода Q 1 = 12 м3/с, а также максимально допустимое заглубление H 2 нижнего водоспуска из условий пропуска максимального расхода Q 2. Определить Q 2. Решение. До определения диаметра d неясно – водоспуск является «насадком цилиндрическим наружным» или «короткой трубой». Для насадка при l / d = 3-4
где mн – коэффициент расхода. При Найдем диаметр, предположив, что водоспуск – насадок,
При этом Найдем выражение для определения диаметра трубы d т, для чего составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, проведя плоскость сравнения 0-0 через ось трубы:
где z 1 = H 1; p 1 = p a; v 1» 0; z 2 = 0; p 2 = p a; v 2 = v т; v т – скорость воды в трубе; Выразим v т через расход Q по формуле
Примем в первом приближении, что движение воды по трубе соответствует квадратичной области сопротивления, т.е. После подстановки в формулу (4.32) H 1 = 6,5 м,
Решаем (4.33) способом последовательных приближений, приняв за первый шаг d т = d н = 1,285 м. Находим d т = 1,361 м (1361 мм) > d н. При этом Коэффициент расхода
Таким образом, Максимальное заглубление H 2 нижнего водоспуска ограничено требованием получения максимального расхода Q 2. Максимальный расход будет в том случае, если напор H 2 не вызовет отрыва потока в трубе от ее стенок, т.е. не превратит трубу в «отверстие в тонкой стенке» с m0 < mт (см. табл.4.1). С использованием формулы (4.12) и понятия о давлении насыщенных паров [1] имеем при t = 20 °C, jт = mт и e = 0,64 (табл.4.1):
Ответ: d т = 1,361 м;
Пример 4.2. Определить расход воды через конический насадок А гидромонитора с выходным диаметром насадка d н = 20 мм, если насадок присоединен к стволу Б гидромонитора через плавный переходник, а диаметр ствола D = 100 мм. Манометрическое давление перед насадком р м = 100 ат. Решение. Расход при истечении в атмосферу Струя выходит из насадка, потеряв часть энергии в самом насадке (см. табл.4.1, zн = 0,07). Кроме того, на скорость истечения v 2 влияет скорость подхода воды к насадку v 1. Поэтому составим уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2, проведя плоскость сравнения 0-0 по оси трубы:
где z 1 = z 2; предполагая режим движения в стволе Б турбулентным, примем
Заменим, используя уравнение (3.5), скорость v 1 на v 2:
Тогда
Откуда
Искомый расход
Ответ: Q = 150,1 м3/ч.
ЗАДАЧИ
Задача 4.1. Определить абсолютное давление в сечении С-С, уровень h воды в трубке над свободной поверхностью воды в чашке и расход Q при истечении из внешнего цилиндрического насадка диаметром d н = 20 мм под постоянным напором Н = 2 м. Ответ: р абс = 83258 Па; h = 1,513 м; Q =1,613 л/с.
Задача 4.2. Определить суммарный расход Q масла АМГ-10 [1] из отверстия диаметром d 1 = 5 мм (в поршне) и диаметром d 2 = 5 мм (в днище цилиндра), если поршень массой m = 100 кг находится под нагрузкой F = 1000 Н.
Силу трения уплотняющей манжеты о стенки цилиндра определить по формуле
где р – давление под поршнем; f – коэффициент трения резины по стали со смазкой (f = 0,01); b – ширина уплотняющей поверхности манжеты. Высоту слоя масла над поршнем не учитывать. Дополнительно задано: высота слоя масла под поршнем H = 4 м; диаметр поршня D = 300 мм; ширина манжеты b = 10 мм; толщина поршня h 1 = 20 мм и днища h 2 = 10 мм. Ответ: Q 1 + Q 2 = 16,61 л/мин.
Задача 4.3. Для условий задачи 4.2 определить соотношение расходов Задано: F = 104 H; m = 50 кг; Н = 5 м; D = 100 мм; d 1 = 8 мм; d 2 = 4 мм; h 1 = 16 мм; h 2 = 15 мм; b = 10 мм. Ответ:
Задача 4.4. Цилиндр массой m = 100 кг надет подвижно на поршень диаметром D = 300 мм (условно – без протечек между поршнем и цилиндром и без трения). В днище цилиндра выполнено отверстие диаметром d 1 = 5 мм, в поршне – отверстие диаметром d 2 = 4 мм. Толщина днища h 1 = 5 мм и поршня h 2 = 20 мм; H = 5 м. Определить соотношение скоростей истечения керосина (r = 806 кг/м3) из верхнего (v 1) и нижнего (v 2) отверстий и скорость v ц опускания цилиндра. Ответ: v 1/ v 2 = 0,603; v ц = 2,69 мм/с.
Задача 4.5. Определить скорость v п движения поршня вниз под действием нагрузки F = 120 кН. Истечение масла И-25А [1, с.314] из-под поршня в атмосферу происходит через два одинаковых отверстия диаметром d = 10 мм. Поршень диаметром D = 200 мм уплотнен резиновой манжетой шириной b = 10 мм. Коэффициент трения манжеты о стальной корпус принять f = 0,15. Высота поршня а = 35 мм. Массой поршня пренебречь.
Ответ: v п = 0,374 м/с.
Задача 4.6. Определить диаметр d 0 отверстия в тонкой стенке для заполнения емкости объемом V = 9,36 м3 за полчаса водой, если центр отверстия расположен ниже уровня воды в накопителе на отметке –2 м. Ответ: d 0 = 41,3 мм.
Задача 4.7. Истечение из большого резервуара происходит через два одинаковых отверстия диаметром d = 60 мм, расстояние между центрами которых по вертикали h = 0,5 м. Определить (с учетом совершенства сжатия струй) глубину H воды в резервуаре, при которой суммарный расход Ответ: H = 2,632 м.
Задача 4.8. Малое квадратное отверстие со стороной а = 36 мм в тонкой вертикальной стенке примыкает одной стороной к дну. Определить, при какой глубине Н воды в резервуаре расход через отверстие будет Q = 4,18 л/с. Ответ: H = 1,467 м.
Задача 4.9. В вертикальной тонкой стенке, разделяющий резервуар на две части, выполнено отверстие диаметром d 1 = 50 мм. В боковой стенке правой части резервуара выполнено отверстие диаметром d 2. Оба отверстия расположены соосно и на уровне l = 1 м от дна. Истечение из среднего отверстия – под уровень, из правого – в атмосферу. Уровень воды в левой части h 1 = 2,5 м, в правой – h 2. Определить уровень h 2 в правой части, диаметр d 2 и скорость истечения v 2 при расходе через среднее отверстие Q = 11,16 м3/ч. Ответ: h 2 = 2,169 м; d 2 = 36,5 мм; v 2 = 4,646 м/с.
Задача 4.10. Через внешний цилиндрический насадок диаметром d = 38 мм истекает в атмосферу вода с расходом Q = 5,6×10-3 м3/с. Определить напор H перед насадком, скорость v н на выходе из насадка и скорость v с в сжатом сечении, а также абсолютное давление р абс в сечении С-С. Ответ: H = 1,847 м; v н = 4,937 м/с; v с = 7,714 м/с; р абс = 84394 Па.
Задача 4.11. В теле железобетонной плотины выполнен водоспуск диаметром d и длиной L = 5 м, предназначенный для пропуска воды с расходом Q = 9 м3/с при свободном истечении. Водоспуск расположен на отметке Ñ = +10 м. Определить диаметр d. Определить также расход Q 2 при подъеме нижнего уровня воды до отметки Ñ = +12 м. Ответ: d = 1,015 м; Q 2 = 8,069 м3/с.
Задача 4.12. Из резервуара с избыточным давлением р 0 = 0 истекает вода через донное отверстие с острыми кромками при высоте слоя воды Н = 3 м. Определить Ответ:
Задача 4.13. Определить расход воды через малое прямоугольное отверстие размерами а = 15 см, b = 20 см в тонкой вертикальной разделительной стенке при глубине погружения центра отверстия под свободной поверхностью с напорной стороны Н 1 = 4,4 м, с низконапорной Н 2 = 2 м. Отверстие расположено в нижнем углу разделительной стенки.
Ответ: Задача 4.14. Определить расход воды Q из пожарной колонки А при манометрическом давлении в ней р м = 3 кг/см2, если отбор воды на пожаротушение осуществляется по горизонтали через гибкий рукав Б длиной l р = 120 м диаметром d р = 73 мм и конический сходящийся насадок В с выходным диаметром d н = 20 мм. Диаметр колонки D к = 100 мм; изгибами рукава пренебречь; коэффициент Дарси принять l = 0,025 для квадратичной зоны сопротивления. Ответ:
Задача 4.15. Для условий задачи 4.14 определить дальность полета компактной струи h ком при любом угле a наклона насадка к горизонту, а также дальность полета раздробленной струи при a = 0, 30 и 60°. Скорость истечения воды из насадка принять v = 21,3 м/с.
Ответ: при a = 0° L = 28,36 м; при a = 30° L = 24,31 м; при a = 60° L = 21,68 м; h ком = 16,82 м.
Задача 4.16. Для тушения пожара в условиях крутого падения пласта ствол гидромонитора установлен вертикально вверх; используется низконапорное оборудование. Расход воды Q = 30 л/с. Длина компактной части струи Н = 29 м; длина трубы от точки установки манометра до входа в насадок l = 2,5 м; превышение насадка над осью подвода Н 1 = 1,2 м; насадок конический сходящийся с диаметром выходного отверстия d н; условный проход труб гидромонитора D = 100 мм; суммарный коэффициент местных сопротивлений Sz = 30. Высотой и сопротивлением насадка пренебречь. Сопротивлением воздуха пренебречь. Трубы стальные, сварные, с незначительной коррозией. Определить диаметр насадка d н и потребное давление рм.
Ответ: d н = 36 мм; р м = 6,9 ат.
Задача 4.17. Гидроцилиндр с двухсторонним штоком заполнен жидкостью без пустот при атмосферном давлении. В поршне выполнено одно сквозное отверстие по типу конического сужающего насадка (см. табл.4.1). К штоку попеременно прикладывают силу F (слева F 1, справа F 2); в результате перетока жидкости из одной полости цилиндра в другую по указанному отверстию в поршне последний перемещается вправо со скоростью v 1, затем влево – со скоростью v 2. Утечек по штоку и поршню нет. Найти соотношение сил F 2/ F 1, обеспечивающее одинаковую скорость движения поршня влево и вправо (v 2 = v 1 = v п), если при движении поршня вправо: 1) отверстие в поршне работает как расширяющийся насадок (см. табл.4.1); 2) отверстие в поршне работает как отверстие в тонкой стенке с острой кромкой. Ответ:1) F 2/ F 1 = 3,92; 2) F 2/ F 1 = 2,3.
Задача 4.18. Для условий задачи 4.17 найти соотношение скоростей v 2/ v 1 при равенстве попеременно действующих сил F 1 = F 2 = F, если при движении поршня вправо: 1) отверстие в поршне работает как расширяющийся насадок; 2) отверстие в поршне работает как отверстие в тонкой стенке с острой кромкой. Ответ: 1) v 2/ v 1 = 1,98; 2) v 2/ v 1 = 1,52.
Задача 4.19. Истечение в атмосферу происходит из отверстия с острой кромкой в крышке (заглушке) трубы диаметром D при манометрическом давлении р м = 3 ат с расходом Q = 30,6 л/с. Определить диаметр трубы D, если диаметр отверстия d 0 = 50 мм. Ответ: D» 100 мм.
Задача 4.20. В боковой вертикальной стенке резервуара выполнено прямоугольное отверстие шириной b = 0,5 м и высотой а. Расстояние верхней кромки отверстия до свободной поверхности воды Н 1 = 2 м. Определить высоту а отверстия из условия пропуска через него воды с расходом Q = 1 м3/с.
Коэффициент расхода m принять согласно пояснениям к формуле (4.13). Ответ: а = 0,498 м.
Задача 4.21. Определить коэффициент расхода струеформирующего устройства (СФУ) и его вид (см. табл.4.1) при истечении воды через это СФУ в дне вертикального цилиндрического открытого бака диаметром D = 1,4 м, если диаметр СФУ d = 20 мм, а уровень воды в баке понизился за t = 38 мин от уровня Н 1 = 2,6 м до уровня Н 2 = 1,2 м. Ответ: m = 0,5.
Задача 4.22. Из полностью заполненной горизонтальной цистерны диаметром D = 2,21 м и длиной L = 8,2 м сливают жидкость через сложное СФУ с коэффициентом расхода m = 0,62. Определить время полного опорожнения цистерны при диаметре СФУ d = 100 мм. Ответ: t = 27,8 мин.
Задача 4.23. Для условий задачи 4.22 найти соотношение времени опорожнения верхней и нижней частей цистерны. Ответ: t 1/ t 2 = 0,547.
Задача 4.24. Вертикальный цилиндрический резервуар с водой диаметром D = 4 м и высотой Н = 60 м имеет в дне центральное отверстие с острой кромкой. Определить время t полного опорожнения резервуара при диаметре отверстия d 0 = 0,1 м. Ответ: t = 47,6 мин. Задача 4.25. Вода истекает в атмосферу через боковое отверстие диаметром d = 2,5 см (с острой кромкой) в стенке вертикального цилиндрического резервуара диаметром D = 8 м. Определить время t снижения уровня воды от отметки Ñ1 = +12 м до отметки Ñ2 = + 4,5 м. Нулевая отметка проходит через ось отверстия. Ответ: t = 27,82 ч.
Задача 4.26. В вертикальном цилиндрическом резервуаре диаметром D = 6 м находится слой воды высотой Н в = 1,1 м и слой нефти (rн = 900 кг/м3) высотой Н н = 6,2 м. Определить время t слива воды через донный цилиндрический наружный насадок диаметром d н = 0,1 м. Ответ: t = 7,35 мин.
Задача 4.27. Из одного резервуара в другой перепускают жидкий нефтепродукт (n = 25×10-6 м2/с) через короткую трубу с l / d = 5 при диаметре трубы d = 100 мм и шероховатости D = 0,1 мм. Диаметры резервуаров одинаковы и равны D = 8 м. Уровни жидкости в начале процесса Ñ1 = +8 м, Ñ2 = +0,4 м. Нулевая плоскость проходит через ось трубы. Приняв коэффициент расхода при истечении через трубу в среднем m = 0,7, определить время t выравнивания уровней до их разности 0,02 м. Ответ: t = 1,5 ч.
Задача 4.28. Из цилиндрического вертикального бака с площадью поперечного сечения S б = 0,95 м2 вытекает вода через донное СФУ с площадью проходного отверстия S 0 = 3 см2. Через t = 30 мин после открытия СФУ высота слоя воды в баке оказалось равной Н 2 = 25 см. Сколько литров воды вытекло за первые 10 мин? Коэффициент расхода СФУ принять равным m0 = 0,62. Ответ: V = 569 л. Задача 4.29. Определить время t опорожнения цилиндрического бака площадью S б = 4 м2, если начальная отметка уровня воды в нем Ñ1 = +21 м; отметка дна бака Ñ2 = +17,5 м; отметка выхода сливной трубы в атмосферу Ñ3 = +14,5 м. Диаметр трубы d = 0,2 м, ее шероховатость Dэ = 0,1 мм; труба имеет прямое колено с a = 90°. Ответ: t = 3,15 мин.
Задача 4.30. Вода истекает из цилиндрического бака площадью S б = 1,2 м2 через малое боковое отверстие в тонкой стенке диаметром d = 30 мм. В резервуар вода поступает с постоянным расходом Q + = 2,5×10-3 м3/с. Определить уровень воды Н 0 по отношению к оси отверстия 0-0 через t = 20 мин после открытия этого отверстия (запорный орган не показан), если в момент открытия напор перед отверстием составлял Н 1 = 1,2 м. Использовать способ последовательных приближений. Ответ: Н 0 = 1,455 м.
Задача 4.31. Насос подает эмульсию в верхний бак с расходом Q + = 6 л/с. Высота бака до сливной трубки Н 0 = 1,4 м, диаметр D = 1,6 м. Эмульсия отводится к потребителю через донное составное СФУ с диаметром проходного отверстия d = 25 мм и коэффициентом расхода m = 0,55. Определить продолжительность t работы насоса для наполнения бака до отметки сливной трубки, если при его пуске высота слоя эмульсии в баке составила Н 1 = 0,1 м при открытом СФУ. Ответ: t = 8 мин 49 с.
Задача 4.32. Жидкость из цилиндрического вертикального резервуара А диаметром D = 1,8 м, наполненного до уровня Н = 2,2 м, перетекает в цистерну Б через донное СФУ (d с = 40 мм, mс = 0,82) и заливочную воронку В, имеющую суммарный коэффициент сопротивления zв = 0,7, отнесенный к скорости жидкости v в в цилиндрической части воронки с d в = 50 мм, и высоту h в = 0,5 м. Определить высоту Н 1 слоя жидкости в резервуаре А, при которой жидкость безусловно сливается в цистерну через воронку, и соответствующий объем V 1. Пропускная способность СФУ и воронки различна. Если пропускная способность воронки меньше, чем у СФУ, часть жидкости через ловитель Г отводится в бачок Д, откуда позже насосом возвращается в резервуар А. Ответ: H 1 = 1,0675 м; V 1 = 2,715 м3.
Задача 4.33. Для условий задачи 4.32 определить объем V 2 из слоя D Н = Н – Н 1, слившийся в цистерну через воронку В, и вместимость V 3 сливного бачка Д. Ответ: V 2 = 2,365 м3; V 3 ³ 515,5 л. Задача 4.34. Определить давление воды р в статическом режиме (р = const) при допускаемом напряжении материала трубы (сталь) на растяжение [s]p = 112,8 МПа и напряжение в материале трубы sуд при мгновенной остановке воды, двигавшейся со скоростью v 0 = 2 м/с при температуре t = 20 °C, если давление перед задвижкой до ее закрытия составляло р 0 = 1,5 МПа, а также определить запас прочности трубы n = [s]p/sуд. Диаметр трубы D = 205 мм, толщина стенки трубы d = 10,5 мм. Ответ: р = 11,56 МПа; sуд» 40 МПа; n = 2,82.
Задача 4.35. Стальной пульповод протяженностью L = 15 км служит для гидротранспортирования угольной пульпы от шахты (пункт А) до обогатительной фабрики (пункт В). В данный момент пульпопровод заполнен промывочной водой с избыточным давлением р = 0,49 МПа при температуре Т = 10 °С и герметично закрыт с обоих концов. При выполнении ремонтных работ пульпопровод получил пробоину (разгерметизировался). Аппаратура на станциях А и В отметила изменение давления с интервалом 10 с. Установить место разгерметизации рабочей нитки пульповода, если его диаметр d = 300 мм, а толщина стенки d = 10 мм. Ответ:место разрыва от станции А на расстоянии 1,38 км.
Задача 4.36. Определить давление воды в стальной трубе после мгновенного закрытия задвижки, если до ее закрытия существовало избыточное давление р 0 = 5 кг/см2, а скорость воды v 0 = 1 м/с. Диаметр трубы d = 0,5 м, толщина стенок d = 5 мм. Температура воды Т = 20 °С. Ответ: р = 1,64 МПа.
Задача 4.37. По стальному трубопроводу длиной l = 500 м и диаметром d = 150 мм осуществляют шахтный водоотлив насосом с расходом Q = 250 м3/ч при температуре воды Т = 20 °С. Насос расположен на отметке Ñ1 = –50 м, зумпф – на отметке Ñ2 = +50 м. Трубопровод оснащен двумя задвижками: после насоса (нижняя) и перед зумпфом (верхняя). Рабочий напор насоса Н н, раб = 300 м вод.ст. Определить минимально допустимое время t min закрытия верхней задвижки из расчета максимально возможного повышения давления перед ней в 1,5 раза. Шероховатость труб принять Dэ = 0,17 мм. Местные сопротивления учесть по правилу «длинного» трубопровода. Ответ: t min = 1,88 c.
Задача 4.38. В трубопроводе диаметром d = 100 мм и длиной l = 1 км в результате закрытия дальней задвижки за t з = 1,6 с давление воды перед ней повысилось на величину D р = 0,6 МПа. Определить скорость v 0 движения воды в трубопроводе до закрытия задвижки, если трубы: а) чугунные, d = 5 мм; б) стальные, d = 6 мм. Температура воды Т = 10 °С, начальное давление перед задвижкой р 0 = 5 МПа. Ответ: а) v 0 = 0,480 м/с; б) v 0 = 0,486 м/с.
|
, (4.2)
и l l / d ® 0 mн» 0,82 (табл.4.1). Для короткой трубы при l / d > 4 формулу (4.31) использовать нельзя, так как mтр и S тр зависят от искомого диаметра.
т.е. водоспуск – скорее труба, чем насадок.
; 
.
. Тогда уравнение Бернулли примет вид:
. (4.32)
Для бетонной трубы Dэ = 0,5 мм (см. табл.3.1); тогда 
.
, L = 6 м получим выражение
. (4.33)
, что соответствует понятию «короткая труба»; l = 0,0152.
;
(квадратичная область сопротивления, формула выбрана верно).
;
.
; р 2 = 0, так как речь идет об избыточном давлении; в сжатом сечении струи a2 = 1. После сокращений имеем:
.
или 
.
м/с.
,
через соответствующие отверстия в днище цилиндра и в поршне.
для увеличения расхода вдвое и 
для уменьшения расхода вдвое через то же отверстие.
