Примечания к главе 6

6.1

См. прим. 3 к гл. 4 и соответствующий текст, особенно окончание абзаца. См. также прим. 2 (2) к гл. 4. Что касается призыва «Назад к природе!», то мне бы хотелось привлечь внимание читателей к тому факту, что Руссо испытал огромное влияние Платона. Действительно, имеются аналогии между «Общественным договором» и прокомментированными в предыдущей главе отрывками из работ Платона, посвященными натурализму (см. особенно прим. 14 к гл. 9). Так же интересно сходство между «Государством», 591 а и след. (и «Горгием», 472 е и след., где близкая идея встречается в индивидуалистском контексте) и знаменитой теорией наказания Руссо (и Гегеля). Э. Баркер (Е. Barker. Greek Political Theory, I, 388 и след.) верно подмечает влияние Платона на Руссо. Однако он не заметил значительного элемента романтизма у Платона. Кроме того, часто недооценивается тот факт, что сельский романтизм, повлиявший как на Францию, так и на Англию времен Шекспира посредством «Аркадии» Я. Санаццаро (J. Sanazzaro. Arcadia), имеет своим источником платоновские описания дорийских пастухов (см. прим. 11 (3), 26 и 32 к гл. 4, а также прим. 14 к гл. 9).

6.2

R. H. Crossman. Plato Today, 1937, p. 132; следующая цитата взята из этой же книги, р. 111. Эта интересная книга (так же, как и работы Дж. Гроута и Т. Гомперца) в значительной мере меня воодушевила, так что я смог развить свои довольно-таки неортодоксальные взгляды на Платона и показать, к каким неожиданным следствиям они могут нас привести. Цитаты из Ч. Джоуда взяты из его книги С. Е. A/. Joad. Guide to the Philosophy of Morals and Politics, 1938, pp. 661 и 660. Я хочу также сослаться на очень интересные замечания относительно платоновского подхода к справедливости, сделанные К. Л. Стивенсоном — см. С. L. Stevenson. Persuasive Definitions // Mind, New Series, vol. 47, 1938, pp. 331 и след.

6.3

R. H. S. Crossman, op. cit., p. 132 и след. Следующие две цитаты взяты из работы Дж. Филда: G. С. Field. Plato, etc., p. 91. Аналогичные замечания содержатся также в работе Э. Баркера: Е. Barker. Greek Political Theory, etc. (см. также прим. 13 к гл. 5).

Идеализация Платона сыграла немалую роль в спорах о подлинности ряда приписываемых ему работ. Некоторые критики отрицали авторство Платона лишь на том основании, что в вызывавших сомнения работах содержались фрагменты, не соответствовавшие их идеализированному взгляду на Платона. Наивное и в равной степени типичное выражение этой установки можно найти во «Вводной статье» Дж. Дэвиса и Ч. Э. Воэна к «Государству» Платона (J. L. Davies, С. Е. Vaughan. Introductory Notice) (сравните,е другим изданием «Государства» — «Republic», Golden Treasury ed., p. VI): «Усердствуя в своем стремлении свергнуть Платона со сверхчеловеческого пьедестала, Дж. Гроут готов приписать ему сочинения, которые уже признаны недостойными этого божественного философа». Авторам, вероятно, не приходит в голову, что их суждение о Платоне должно было бы зависеть от написанных им трудов, а не наоборот. Кроме того, если эти сочинения подлинны и недостойны Платона, то его вряд ли можно считать божественным философом. (О божественности Платона см. Simplicius. Arist. de coelo, 32 b 44, 319 a 15 и след.)

6.4

Условие (а) соотносимо с кантовским, при котором справедливый государственный строй описывается как «государственный строй, основанный на наибольшей человеческой свободе согласно законам, благодаря которым свобода каждого совместима со свободой всех остальных» (I. Kant. Critique of Pure Reason2, p. 373; русский перевод:: И. Кант. Сочинения в шести томах. М., Мысль, 1964, т. 3, с. 351). См. также его «Метафизику нравов», в которой он говорит: «Право — это совокупность условий, при которых произвол одного [лица] совместим с произволом другого с точки зрения всеобщего закона свободы» (русский перевод: там же, т. 4, ч. 2, с. 139). Кант полагал, что именно это было целью Платона в «Государстве». Из этого можно понять, что Кант — один из многих философов, или идеализировавших Платона, приписывавших ему свои собственные гуманистические идеи, или обманутых им. В этой связи я могу заметить, что в английских и американских работах по политической философии (за исключением W. Hastie. Kant's Principles of Politics) пылкий либерализм Канта ценится очень мало. Его слишком часто представляют предшественником Гегеля, однако по отношению к Канту это совершенно несправедливо, если учесть тот факт, что он понял, что романтизм и Гердера, и Фихте — это учения, диаметрально противоположные его собственному, не говоря уже о том, что оценка философии Гегеля как последователя Канта несомненно привела бы его в негодование. Я полагаю, что только огромное влияние гегельянства смогло привести к широкому распространению этой неприемлемой точки зрения.

6.5

См. текст к прим. 32/33 к гл. 5.

6.6

См. текст к прим. 25/29 к гл. 5. Приведенные в данном абзаце цитаты взяты из «Государства»: (1) 433 а; (2) 434 а/b; (З) 441 d. С утверждением Платона из первой цитаты — «Мы установили…» сравните также «Государство», 397 е, где тщательно подготавливается изложение теории справедливости, и, конечно, фрагмент из «Государства», 369 b-с, процитированный в тексте к прим. 29 к гл. 5. См. также прим. 23 и 40 к настоящей главе.

6.7

Как отмечалось в главе 4 (прим. 18 и соответствующий текст, а также прим. 29), Платон немного говорит в «Государстве» о рабах, хотя то, что он говорит, достаточно важно. Однако все сомнения по поводу его установки относительно рабства развеиваются в «Законах» (см. особенно статью Г. Морроу, на которую мы ссылались в прим. 29 к гл. 4 — G. R. Morrow. Plato and Greek Slavery // Mind, N.S., vol. 48, pp. 186-201, 402).

6.8

Цитаты взяты из работы Э. Баркера (Е. Barker. Greek Political Theory, I, p. 180). Баркер утверждает (р. 176 и след.), что «платоновская справедливость» — это «социальная справедливость», и верно отмечает ее холистскую природу. Он замечает (р. 178 и след.), что возможна критика этого определения, связанная с тем, что эта формула «не… затрагивает сущности того, что люди обычно подразумевают под этим словом», т.е. «принцип, позволяющий преодолеть столкновение воль», иначе говоря, справедливость в применении к личностям. Однако он полагает, что «такое возражение не относится к делу» и что платоновская идея — это «понятие социальной морали», не имеющее отношения к закону (р. 179). Более того, он утверждает, что такое понимание справедливости в определенном смысле соответствовало современным Платону древнегреческим идеям справедливости: «Определяя так справедливость, Платон не ушел далеко от идей, бытовавших в Древней Греции». Баркер даже не упоминает о том, что существуют свидетельства об обратном, — подобные тем, которые мы обсудим в следующих примечаниях и в тексте.

6.9

См. «Горгий», 488 е и след. Более полно этот фрагмент процитирован и рассмотрен в разделе VIII этой главы (см. прим. 48 к этой главе и текст). Об аристотелевской теории рабства см. прим. 3 к гл. 11 и текст. В данном абзаце цитаты из Аристотеля взяты из следующих сочинений: (1) и (2) «Никомахова этика», V, 4, 7 и 8; (3) «Политика», III, 12, 1 (1282b; см. также прим. 20 и 30 к настоящей главе. Этот отрывок содержит упоминание «Никомаховой этики»); (4) «Никомахова этика», V, 4, 9; (5) «Политика», IV (VI), 2, 1 (1317b). В «Никомаховой этике», V, 3, 7 (см. также «Политику», III, 9, 1; 1280а) Аристотель также замечает, что значение слова «справедливость» неодинаково в демократическом, олигархическом и аристократическом государствах, причем различия соответствуют различному пониманию того, что такое «заслуга».

(Следующий далее текст до конца примечания 9 был впервые добавлен к американскому изданию 1950 года.)

О взглядах Платона на политическую справедливость и равенство, как они изложены в «Законах», см. особенно фрагмент о двух видах равенства («Законы», 757 b-d), цитируемый далее в пункте (1). О том, что при распределении почестей и наказаний следует учитывать не только добродетели и воспитанность, но и здоровье (и даже рост и благообразность), см. «Законы», 744 с. Этот отрывок процитирован в прим. 20 (1) к настоящей главе, где рассмотрены и другие фрагменты, затрагивающие данную тему.

(1) В «Законах», 757 b-d Платон анализирует «два вида равенства». Прежде всего Платон пишет: «Из этих двух видов первому может отвести почетное место всякое государство и всякий законодатель, руководя его распределением с помощью жребия: таково равенство меры, веса, числа. Но любому человеку нелегко усмотреть самое истинное и наилучшее равенство… Большему оно уделяет больше, меньшему — меньше, каждому даря то, что соразмерно его природе. Особенно большой почет воздает оно всегда людям наиболее добродетельным; противоположное же — тем, кто меньше преуспел в добродетели и воспитанности. Каждому оно разумно дарит надлежащее. У нас все относящееся к государственному устройству постоянно совпадает со справедливостью… Если кто-то когда-нибудь будет устраивать другое государство, то и ему надо будет издавать законы, постоянно имея в виду именно это — справедливость… В этом-то и заключается только что высказанная нами мысль о равенстве, установленном в каждом отдельном случае для неравных согласно природе» (курсив частично мой). Второй вид равенства соответствует тому, что Платон называет «политической справедливостью», а Аристотель — «распределительным правом». Этот вид равенства Платон и Аристотель описывают как «пропорциональное равенство» — самое истинное, самое естественное и самое лучшее равенство. Позже Платон назвал его «геометрическим» равенством («Горгий», 508 а; см. также 465 b/с и Плутарх. Moralia, 719 b и след.) в противоположность более низкому и демократическому «арифметическому» равенству. Понимание этих видов равенства поясняется в (2).

(2) Традиционно считается (см. Comm. in Arist. Graeca, pars XV, Berlin, 1879, p. 117, 29; pars XVIII, Berlin, 1900, p. 118, 18), что изречение у входа в платоновскую Академию гласило: «Да не переступит этого порога тот, кто не искушен в геометрии!». Как мне представляется, этот лозунг не только подчеркивал важность математических исследований, но и означал следующее: «Арифметики (точнее — пифагорейской теории чисел) недостаточно — вы должны знать геометрию!». Я попытаюсь в общих чертах пояснить, почему последняя фраза верно отражает самое важный вклад Платона в науку. См. также «Дополнение I» к тому 1.

Теперь уже общеизвестно, что подход ранних пифагорейцев к геометрии методологически был сходен с тем, что сегодня называют «арифметизацией». Геометрия считалась частью теории чисел (или «натуральных» чисел, т.е. чисел, составленных из монад или «неделимых единиц» — см. «Государство», 525 е) и теории их «λογοι», т.е. «рациональных» отношений. Пифагорейские прямоугольные треугольники, например, могли иметь стороны, отношения между которыми выражались отношениями или пропорциями целых чисел (3:4:5 или 5: 12: 13). Общая формула вывода таких пропорций, открытие которой приписывается Пифагору, имеет такой вид:

2n + 1 ÷ 2n (n + 1) ÷ 2n (n + 1) + 1

Однако эта формула, полученная при наблюдении за «гномоном», не является достаточно универсальной, что показывает следующий пример — 8:15:17. Универсальной формулой, из которой выводится пифагорейская путем подстановки m = n + 1, является:

m² - n² ÷ 2mn ÷ m² + n²,

где m > n, а "÷" — знак пропорции.

Поскольку эта формула легко выводится из теоремы Пифагора (применяя некоторые алгебраические приемы, которые, по-видимому, уже были известны ранним пифагорейцам) и поскольку она, очевидно, не была известна не только Пифагору, но и Платону (который, согласно Проклу, вывел другую неуниверсальную формулу), то можно сделать вывод о том, что «теорему Пифагора» в общем виде не знал ни Пифагор, ни даже Платон. (Менее радикальный взгляд на эту проблему изложен в книге Т. Хита: Т. Heath. A History of Greek Mathemathscs, 1921, vol. 1, p. 80-82. Формула, которую я назвал «универсальной», принадлежит Евклиду. Ее можно получить из излишне усложненной формулы, которую Хит приводит на с. 82 своей книги, сначала получив значение длины трех сторон треугольника и умножив полученные результаты на 2/m, а затем произведя замену m на n и p на d.)

Открытие иррациональности значения квадратного корня из двух (об этом открытии Платон упоминает в «Гиппии Большем» и в «Меноне» — см. прим. 10 к гл. 8, а также Аристотель. «Первая Аналитика», 41а 26 и след.) доказало невозможность осуществления пифагорейской программы «арифметизации» геометрии, а вместе с тем, по-видимому, и нежизнеспособность самого пифагорейского Порядка. Сведения о том, что это открытие сначала не подлежало разглашению, подтверждаются тем фактом, что Платон первоначально все еще называл иррациональное термином «αρρητοσ», т.е. секрет, сокровенная тайна — см. «Гиппий Больший», 303 b/с, «Государство», 546 с. (Позднее он стал употреблять термин «несоизмеримость» — см. «Теэтет», 147 с, и «Законы», 820 с. Термин «αλογοσ» впервые появился, по-видимому, у Демокрита, написавшего сочинение из двух книг под названием «Об иррациональных линиях и атомах» или «О несозмеримых линиях и телах», которое было утеряно. Платону был известен термин «αλογοσ», о чем свидетельствует презрительное упоминание названия труда Демокрита в «Государстве», 534 d, но он никогда не использовал его в качестве синонима термину «αρρητοσ». Первое несомненное использование термина «αλογοσ» в этом смысле мы находим у Аристотеля во «Второй Аналитике», 76b 9. См. также книгу Т. Heath, op. cit., vol. I, p. 84 и след., р. 156 и след. и мое «Дополнение I» в конце тома 1.)

Крушение пифагорейской программы арифметизации геометрии привело, по-видимому, к разработке аксиоматического метода Евклида, предназначенного, с одной стороны, спасти от краха то, что еще можно было спасти в математике (в том числе и метод рациональных доказательств), и с другой стороны, ассимилировать факт несводимости геометрии к арифметике. Поэтому весьма вероятно, что Платон сыграл чрезвычайно важную роль в переходе от древнего пифагорейского метода к методу Евклида — фактически, он был одним из первых создателей специфически геометрической методологии, цель которой состояла в покрытии издержек краха пифагореизма. Все это, конечно, следует рассматривать лишь как смелую историческую гипотезу, хотя некоторые аргументы в ее пользу можно найти у Аристотеля во «Второй Аналитике», 76b 9 (об этом фрагменте я уже упоминал ранее), особенно если сравнить этот отрывок с тем, что сказано в «Законах», 818 с, 895 е (о четном и нечетном), 819 е/820 а и 820 с (о несоизмеримости). Аристотель пишет: «Арифметика [исследует], что такое нечетное и четное… геометрия — что такое несоизмеримое» (см. также «Первую Аналитику», 41а 26 и след., 50а 37, и «Метафизику», 983а 20, 1061b 1-3, где проблема несоизмеримости трактуется как принадлежащая к геометрии, и 1089а, где, как и во «Второй Аналитике», 76b 40, есть намек на «Теэтет», 147 d, в котором говорится о свойствах квадрата со стороной в одну стопу.) То, что Платона глубоко интересовала проблема иррациональности, хорошо показывают два упомянутых ранее отрывка: «Теэтет», 147 с-148 а, и «Законы», 819 d-822 d, где он говорит о том, что ему жаль тех греков, которые не дожили до открытия великой проблемы несоизмеримости величин.

Теперь я хотел бы высказать гипотезу о том, что платоновская «теория первичных тел» (см. «Тимей» 53 с-62 с, возможно, даже вплоть до 64 а, а также «Государство», 528 b-d) была одним из средств решения этой проблемы. Эта теория, сохраняя, с одной стороны, пифагорейский атомизм, т.е. учение о неделимых единицах («монадах»), которые фигурировали также и в более поздних атомистических учениях, с другой стороны, ассимилирует иррациональные величины (квадратные корни из двух и трех), так как закрыть глаза на их присутствие в мире было уже невозможно. В этой теории говорится о двух труднопостижимых треугольниках: один из них образуется двумя сторонами и диагональю квадрата и имеет гипотенузу, кратную квадратному корню из двух, а другой получается путем проведения из вершины равностороннего треугольника высоты, длина которой кратна квадратному корню их трех. Учение о том, что эти два иррациональных треугольника являются пределами («περασ» — см. «Менон», 75 d-76 а) или формами всех элементарных физических тел может быть названо одной из центральных физических доктрин «Тимея».

Все это наводит на мысль, что предупреждение, обращенное Платоном ко всем, кто несведущ в геометрии (упоминание об этом можно найти в «Тимее», 54 а), могло иметь достаточно определенную направленность, о которой мы говорили ранее, и что оно могло быть связано с верой в то, что геометрия важнее арифметики (см. «Тимей», 31 с). Это, в свою очередь, могло бы объяснить нам, отчего «равенство отношений» (пропорцию), которое Платон считал более аристократичным, чем демократическое арифметическое или численное равенство, он позднее отождествил с «геометрическим равенством», упоминаемом в «Горгии», 508 а (см. прим. 48 к настоящей главе), а также почему многие (например, Плутарх, loc. cit.) отождествляли арифметику с демократией, а геометрию со спартанской аристократией, вопреки тому почти забытому ныне факту, что пифагорейцы были не менее аристократично настроены, чем сам Платон, и что в их программе главное внимание уделялось арифметике, а термин «геометрическое» на их языке означал некоторый род числовых (т.е. арифметических) отношений.

(3) Для объяснения строения первичных тел в «Тимее» Платон обращается к понятиям элементарного квадрата и элементарного равностороннего треугольника. Эти две фигуры, в свою очередь, составлены из двух различных видов субэлементарных треугольников: полуквадрата, длина одной из сторон которого кратна √2, и половины равностороннего треугольника, длина одной из сторон которого кратна √3. Вопрос, почему Платон избрал именно эти два треугольника, а не квадрат и равносторонний треугольник, широко обсуждался. Исследователей интересовал также вопрос (см. п. (4) далее), почему он строил элементарные квадраты из четырех, а не из двух полуквадратов, а элементарный равносторонний треугольник — из шести, а не из двух субэлементарных треугольников. (См. рис. 1 и 2).

Рис. 1. Платоновский элементарный квадрат, составленный из четырех субэлементарных равнобедренных прямоугольных треугольников

Рис. 2. Платоновский элементарный равносторонний треугольник, составленный из шести субэлементарных неравнобедренных треугольников

Как мне кажется, большинство исследователей не сумели понять того, что Платон, горячо интересуясь проблемой иррациональности, не стал бы вводить две иррациональные величины √2 и √3 (о которых он отчетливо говорит в отрывке «Тимей», 54 b) в свои субэлементарные треугольники, если бы он не стремился использовать именно эти иррациональные величины в качестве неделимых далее элементов его мира (Ф. Корнфорд — см. F. M. Cornford. Plato's cosmology, pp. 214, 231 и след. — долго обсуждает оба эти вопроса, однако предлагаемое им общее решение — «гипотеза», как он называет его (р. 234) — кажется мне неприемлемым. Если бы Платон действительно хотел получить некоторую «градацию» вроде той, о которой говорит Корнфорд — хотя у Платона нигде не упоминается о существовании чего-то меньшего, чем то, что Корнфорд называет «уровнем В», — то ему было бы достаточно разделить пополам стороны элементарных квадратов и равносторонних треугольников, построив элементы «уровня В» Корнфорда из четырех элементарных фигур, не содержащих иррациональных величин.) Однако, если Платон хотел привнести эти иррациональные величины в мир в качестве сторон субэлементарных треугольников, из которых состоят все вещи, то он, должно быть, полагал, что способен тем самым решить проблему «природы (соизмеримости и) несоизмеримости» («Законы», 820 с). Несомненно, что эту проблему было почти невозможно решить на основе той или иной разновидности атомистической космологии, поскольку иррациональные величины не могут быть выражены множеством каких-либо единиц, предназначенных для счета рациональных чисел. Однако, если сами единицы измерения будут выражены отрезками, находящимися в «иррациональных отношениях», то этого величайшего парадокса можно будет избежать: ведь такими единицами смогут быть измерены как рациональные, так и иррациональные величины, а потому существование иррациональных величин больше не будет казаться непостижимым или «иррациональным».

Платону было известно, что существуют и другие иррациональные величины, помимо √2 и √3. В «Теэтете» он говорит об открытии бесконечной последовательности иррациональных квадратных корней (в отрывке 148 b он говорит также и о том, что эти соображения могут быть применены «и для объемных тел», однако это не обязательно должно относиться к кубическим корням: возможно, здесь Платон имел в виду длину диагонали куба, кратную √3). В «Гиппии Большем» (303 b-с, см. также: Т. Heath, op. cit., p. 304) он упоминает о том, что путем сложения или применения других арифметических правил к иррациональным величинам могут быть получены другие иррациональные величины, а также рациональные числа. Платон, вероятно, имеет в виду, что, например, величина, задаваемая выражением 2 - √2 является иррациональной, а поэтому сложение этой величины с √2 будет давать, конечно, рациональное число). Очевидно, что если Платон хотел решить проблему иррациональности путем использования изобретенных им элементарных треугольников, то он должен был полагать, что все иррациональные величины (или, по крайней мере, кратные им числа) могут быть получены путем сложения и умножения (а) единиц, (b) √2 и (с) √3.

Конечно же, это было ошибочное утверждение, однако во времена Платона не могло еще существовать доказательства его ошибочности, а утверждение, что существуют только два вида атомарных иррациональных величин (а именно — длины диагоналей квадрата и куба с единичными сторонами) и что все другие иррациональные величины арифметически выводимы из (а) единиц (b) √2 и (с) √3, могло казаться достаточно правдоподобным, если учесть относительный характер иррациональных величин. (Я имею в виду, что можно назвать иррациональной и диагональ квадрата с единичной стороной и сторону квадрата с единичной диагональю. Следует также помнить, что Евклид в книге X, определение 2, все еще характеризует все несоизмеримые квадратные корни «соизмеримостью их квадратов».) Поэтому Платон вполне мог верить в эту гипотезу, хотя у него не могло быть никаких ее доказательств. (Впервые ее опровержение было дано, по-видимому, Евклидом.) Существует одно несомненное упоминание о некоторой недоказанной гипотезе в том месте «Тимея», где Платон говорит о причинах предпочтения субэлементарных треугольников («Тимей», 53 c/d): «Все вообще треугольники восходят к двум, из которых каждый имеет по одному прямому углу и по два острых, но при этом у одного [полуквадрата] по обе стороны от прямого угла лежат равные углы величиной в одну и ту же долю прямого угла, ограниченные равными сторонами, а у другого [полуравностороннего] — неравные углы, ограниченные неравными сторонами. Здесь-то мы и полагаем начало огня и всех прочих тел, следуя в этом вероятности [или вероятной гипотезе], соединенной с необходимостью [доказательством]; те же начала, что лежат еще ближе к истоку, ведает бог, а из людей разве что тот, кто друг богу». И далее, сказав, что существует бесконечное множество неравнобедренных треугольников, из которых следует выбрать «наилучшие», и объяснив, почему наилучшими он считает половины равносторонних треугольников, Платон говорит («Тимей», 54 а-b; Корнфорд был вынужден смягчить этот отрывок, чтобы согласовать его со своей интерпретацией): «Обосновывать это было бы слишком долго (впрочем, если бы кто изобличил нас и доказал обратное, мы охотно признали бы его победителем)». Платон не объясняет, что он понимает под словом «это» — должно быть, он имеет в виду некоторое гипотетическое математическое свойство, оправдывающее при выборе одного треугольника, содержащего величину √2, выбор другого треугольника, содержащего √3. В свете изложенных мною соображений, я полагаю, что Платон говорит здесь о предполагаемой относительной рациональности остальных иррациональных чисел, т.е. о их соизмеримости с единицей, квадратным корнем из двух и квадратным корнем из трех.

(4) Еще одним подтверждением моей интерпретации — хотя я и не нахожу в его пользу никаких свидетельств в текстах Платона — могут послужить следующие соображения. Любопытно, что сумма √2 + √3 дает очень близкое приближение к числу π (см. Е. Воrel. Space and Time, 1926, 1960, p. 216; мое внимание к этому факту, правда, в другом контексте, привлек У. Маринелли). Поправка здесь не превышает 0.0047, т.е. составляет менее чем полторы тысячных от значения числа π. Едва ли во времена Платона было известно лучшее приближенное значение этого числа. Некоторое объяснение этому любопытному факту может состоять в том, что среднее арифметическое площадей описанного шестиугольника и вписанного восьмиугольника является хорошим приближением к площади круга. Вспомним теперь, во-первых, то, что Брайсон исследовал свойства вписанных и описанных многоугольников (см. Т. Heath, op. cit., p. 224), и, во-вторых, то, что Платон интересовался сложением иррациональных величин и поэтому должен был попытаться получить сумму √2+√3. Существуют два доступных Платону способа получения приблизительного равенства √2+√3 ≈ π, второго из которых Платон, по-видимому, не мог избежать. Весьма вероятно, что Платону было известно это соотношение, хотя он и не мог доказать, выражает ли оно строгое равенство или лишь хорошее приближение.

Если моя гипотеза подтвердится, то мы сможем ответить и на второй вопрос, о котором говорилось ранее в пункте (3) — на вопрос, почему Платон строил свой элементарный квадрат из четырех субэлементарных треугольников (полуквадратов) вместо двух, а элементарный равносторонний треугольник — из шести субэлементарных полу треугольников вместо двух. Если мы взглянем на рис. 1 и рис. 2, то увидим, что выделенной точкой на них оказывается центр описанной окружности и что на обоих рисунках представлены также ее радиусы. (На рис. 2 представлен еще и радиус вписанной окружности, однако Платон, по-видимому, имел в виду радиус именно описанной окружности, называя его при изложении метода построения равностороннего треугольника «диагональю» — см. «Тимей», 54 d-e и 54 b.)

Если мы теперь впишем элементарный квадрат и равносторонний треугольник в круг с радиусом r, то обнаружим, что сумма сторон этих двух фигур будет приближаться к π, т.е. чертеж Платона предлагает одно из простейших приблизительных решений проблемы квадратуры круга, как показано на трех наших рисунках. В свете всего сказанного можно предположить, что платоновская гипотеза и его готовность «признать победителем» того, кто сможет его опровергнуть, о чем мы говорили в пункте (3), относятся не только к общей проблеме несоизмеримости иррациональных величин, но и к частной проблеме выяснения того, выражает ли сумма √2+√3 площадь единичного круга.

Я должен еще раз подчеркнуть, что мне неизвестны непосредственные свидетельства, подтверждающие мою точку зрения на этот вопрос, однако если мы рассмотрим приведенные здесь косвенные свидетельства в ее пользу, то она может показаться не совсем невероятной. Я не думаю, что она менее вероятна, чем гипотеза Корнфорда, и если она верна, то с ее помощью мы могли бы объяснить смысл соответствующих фрагментов Платона.

(5) Если имеет какой-то смысл вывод, к которому мы пришли в пункте (2) настоящего примечания, согласно которому Платон провозгласил, что одной арифметики недостаточно, но, кроме нее, следует знать еще и геометрию, а также если верно наше предположение, что его внимание к этой науке было связано с открытием квадратных корней из двух и трех, то некоторый свет может быть пролит также на платоновскую теорию идей и на смысл широко известных замечаний Аристотеля по этому поводу. Эти соображения помогли бы нам объяснить, почему учение пифагорейцев, согласно которому вещи (или формы) являются числами, а этические идеи — числовыми отношениями, должно было исчезнуть, уступив место, как это случилось в «Тимее», доктрине, в соответствии с которой элементарные формы, пределы «περασ»— см. отрывок из «Менона», 75 d-76 а, о котором мы говорили ранее) или идеи вещей являются треугольниками. Кроме того, они объяснили бы нам также, почему следующее поколение академиков возродило учение пифагорейцев. Как только шок, вызванный открытием иррациональности, прошел, математики стали привыкать к идее, что, вопреки всему, иррациональные величины являются числами, поскольку их можно сравнивать по величине с другими (рациональными) числами. На этом этапе стало исчезать и предубеждение против пифагореизма, хотя теория, согласно которой формы являются числами или числовыми отношениями, после открытия иррациональных величин претерпела существенные видоизменения (что, по-видимому, не в полной мере осознавали сторонники новой теории). См. также «Дополнение I» в конце тома 1.

6.10

Известное изображение Фемиды с завязанными глазами, не обращающей внимание на состояние истца и держащей в руках весы — символ равенства и справедливого решения спорных проблем, символизирует эгалитаристскую идею справедливости. Это изображение, однако, не может служить аргументом в пользу того, что такая идея уже была известна современникам Платона. Как любезно сообщил мне профессор Гомбрих, такое изображение появилось в эпоху Возрождения под влиянием «Изиды и Озириса» Плутарха, а не сочинений писателей классической Греции. Вместе с тем, изображение Дике с весами является классическим (об этом изображении, автором которого является Тимократ, младший современник Платона, см. R. Eisler. The Royal Art of Astrology, 1946, pp. 100, 266 и рис. 5) и восходит, по-видимому, к Гесиоду. Гесиод отождествлял Дике с созвездием Девы, которое в Зодиаке расположено рядом с Весами. Таким образом, весы у Дике, по-видимому, играют ту же роль, что и весы, находящиеся в руках Фемиды.

6.11

«Государство», 440 c-d. Абзац заканчивается характерным сравнением со сторожевым псом: «Разве что его смирят доводы собственного рассудка, который отзовет его наподобие того, как пастух отзывает свою собаку». См. прим. 32 (2) к гл. 4.

6.12

Платон действительно подразумевает это, дважды показывая, что Сократ сомневался, где теперь следует искать справедливость. (См. 368 b и след., 432 b и след.).

6.13

Адам (под влиянием Платона) очевидно не заметил эгалитаристской теории в своем примечании к «Государству», 331 е и след., где он, скорее всего справедливо, утверждает, что «точка зрения, согласно которой Справедливость состоит в том, чтобы делать добро друзьям и зло врагам, хорошо отражает господствовавшую в Греции мораль». Однако, он не прав, когда утверждает, что эта точка зрения «была общепринятой», забывая о приведенном им самим свидетельстве (прим. к 561 е 28), показывающем, что равенство перед законом («изономия») «было гордым кличем демократии». См. также прим. 14 и 17 к настоящей главе.

Одним из первых (если не самым первым) упоминаний об «изономии» является фрагмент из сочинений врача Алкмеона (начало пятого века; см. Diels5, гл. 24, фр. 4 — Л 272): он называет «изономию» условием здоровья и противопоставляет ее «монархии», т.е. власти одного над многими. Здесь мы сталкиваемся с политической теорией тела или, точнее, с человеческой физиологией. См. также прим. 32 к гл. 5 и прим. 59 к гл. 10.

6.14

Главкон в своей речи в «Государстве», 359 с вскользь упоминает о равенстве (см. также «Горгий», 483 c-d, конец настоящего примечания и прим. 47 к этой главе), однако этот вопрос остается нерешенным. (Этот фрагмент обсуждается в прим. 50 к настоящей главе.)

Решительно атакуя демократию (см. текст к прим. 14-18 к гл. 4), Платон делает три ехидных замечания об эгалитаризме. Первое замечание касается того, что демократия предполагает «своеобразное равенство — уравнивающее равных и неравных» (558 с; см. прим. Адама к 558 с 16; см. также прим. 21 к настоящей главе), и оно носит иронический оттенок. (Равенство Платон связывал с демократическим устройством и раньше, а именно, при описании демократических революций; см. «Государство», 557 а, фрагмент, приведенный в тексте к прим. 13 к гл. 4.) Второе замечание («Государство», 561 е) характеризует «демократического человека» как такого, который удовлетворяет любое свое желание независимо от того, хорошее оно или плохое. Поэтому его называют «эгалитаристом» («изономистом»), намекая на идею «равных прав для всех» или «равенства перед законом» (об «изономии» см. прим. 13 и 17 к настоящей главе). Читатель подходит к этому отрывку достаточно подготовленным, поскольку слово «равный» встречалось в «Государстве», 561 b и с, уже три раза как характеристика человека, для которого все желания и прихоти «равны». Третий из этих дешевых трюков, который используется и в современной пропаганде такого рода, состоит в обращении к воображению читателей: «Мы едва не забыли сказать, какое равноправие и свобода существуют там у женщин по отношению к мужчинам и у мужчин по отношению к женщинам» («Государство», 563 b).

Помимо упомянутого здесь (и в тексте к прим. 9-10 к настоящей главе) свидетельства в пользу важности эгалитаризма, нам следует особо принять к сведению слова Платона в (1) «Горгии», где он пишет (488 е-489 а; см. также прим. 47, 48 и 50 к настоящей главе): «А разве большинство не держится того мнения, что справедливость — это равенство?», (2) «Менексене» (238 е-239 а; см. прим. 19 к настоящей главе и текст). Фрагменты о равенстве, имеющиеся в «Законах», поскольку они написаны позже «Государства», не могут служить доказательством того, что Платон осознавал важность этого вопроса во время работы над «Государством». См., однако, текст к прим. 9, 20 и 21 к настоящей главе.

6.15

Сам Платон утверждает в связи с третьим замечанием (563 b — см. последнее примечание): «мы скажем то, что на устах теперь». Очевидно, он желает таким образом показать, что шутки вполне уместны при обсуждении этого вопроса.

6.16

Я полагаю, что излагаемая Фукидидом (II, 37 и след.) версия речи Перикла заслуживает доверия. (В переводе речь Перикла цитируется по изданию: Фукидид. История. М., Наука, 1981 — Прим. перев.) Весьма вероятно, что Фукидид присутствовал при этой речи. В любом случае он должен был ее воссоздать с наибольшей возможной точностью. Есть немало оснований считать, что в те времена не было ничего удивительного в том, чтобы человек учил наизусть речь другого оратора (см. платоновского «Федра»), кроме того, точно воспроизвести речь Перикла не так трудно, как может показаться на первый взгляд. Платон знал эту речь, опираясь или на версию Фукидида, или на другой, во многом повторяющий ее источник. См. также прим. 31 и 34-35 к гл. 10. (Можно упомянуть о сомнительного рода уступках Перикла, сделанных им на заре его карьеры, — уступках родовым инстинктам и столь же популярному групповому эгоизму людей. Я имею в виду прежде всего законодательство 451 г. до н. э. о гражданстве. Однако позднее он пересмотрел свои установки, вероятно, под влиянием таких людей, как Протагор).

6.17

См. Геродот, III, 80 и особенно похвалу «изономии», т.е. равенству перед законом (III, 80, 6). См. также прим. 13 и 14 к настоящей главе. Этот отрывок из Геродота, в определенном смысле повлиявший на Платона (см. прим. 24 к гл. 4), высмеивается в «Государстве», так же как и речь Перикла. См. прим. 14 к гл. 4 и прим. 34 к гл. 10.

6.18

Даже натуралист Аристотель не всегда обращается к этому натуралистическому варианту эгалитаризма. Например, этот подход вовсе не заметен в формулируемых в «Политике» (1317 b) принципах демократии (см. прим. 9 к настоящей главе и, текст). Однако, может быть, еще интереснее то, что в «Горгии», где такое важное место занимает противопоставление природы и соглашения, Платон представляет эгалитаризм, не отягощая его сомнительной теорией естественного равенства всех людей (см. 488 е-489 а, процитированный в прим. 14 к настоящей главе, и 483 d, 484 а и 508 а).

6.19

См. «Менексен», 238 е-239 а. Этот фрагмент непосредственно следует за явным намеком на речь Перикла (а именно — на второе предложение, процитированное в тексте к прим. 17 к настоящей главе). Весьма вероятно,