ГЛАВА 10. ИСТИНА, РАЦИОНАЛЬНОСТЬ 10 страница

ли кто-либо станет утверждать, что логическая вероят-

ность высказывания Я равна 1. (Наоборот, если Я

представляет собой произведение всех законов приро-

ДЫ, включая и те, которые мы, может быть, никогда

не сумеем открыть, то его логическая вероятность бу-

28—913 433 a

дет, согласно мнению большинства авторов, очень ма-

ла; если же принять мнение некоторых авторов, к ко-

торым принадлежу и я, то эта вероятность вообще бу-

дет равна 0.)

Таким образом, ЯтЦР), и отождествление логиче-

ского высказывания (Р) с эмпирическим высказыва-

нием о предрасположенностях Я совершенно ошибочно.

На этом пути предрасположенности (или любые другие

объективные вероятности) нельзя подвести под поня-

тие логических, или субъективных, вероятностей.

Приложение

В приложении к этой статье я хочу -сделать заме-

чания в отношении истории вопроса и несколько заме-

чаний по поводу аксиоматических систем ^исчисления

вероятностей.

Различение между субъективной, логической и объ-

ективной (статистической) интерпретациями вероят-

ности, которое я провел в 1934 году в моей книге [12,

с. 148—150], часто использовалось для обоснования

тезиса о том, что по крайней мере в физике имеет

смысл только статистическое понятие вероятности.

(Ныне я бы заменил в этом тезисе термин «статистиче-

ская интерпретация» на «интерпретация в терминах

предрасположенности».) Однако в этой же книге я ис-

пользовал в значительной степени также и логическую

интерпретацию вероятности (в частности, для того что-

бы показать, что «содержание=логической невероят-

ности»). В 1938 году я выдвинул аргументы в пользу

«формальной» теории вероятностей, основывающейся

на некоторой системе аксиом, «конструируемой таким

образом, чтобы имелась возможность... интерпретиро-

вать ее при помощи любой из до сих пор предложен-

ных интерпретаций... а также с помощью еще некото-

рых других интерпретаций» [12, с. 320]. Анализируя

эти интерпретации с точки зрения потребностей истол-

кования квантовой теории, я предложил интерпретацию

вероятности в терминах предрасположенности. К тому

же я установил, что ранее [12, с. 212] я явным образом

возражал против такой интерпретации.

По моему мнению, свобода оперирования с различ-

ными интерпретациями вероятности тесно связана с

принятием формального, или аксиоматического, подхо-

да к понятию вероятности, как он представлен, напри-

мер, в работах Колмогорова (см. [12, с. 327]).

В рамках колмогоровского подхода предполагается,

что объекты б и b в p (a, Ь) являются множествами

{или совокупностями). Однако это допущение удовле-

творяется не для всех интерпретаций. Так, в некоторых

из них б и b интерпретируются как положейия дел,

свойства, события, высказывания или предложения.

Принимая во внимание этот факт, я решил, что при

формальном построении теории не следует делать ни-

каких допущений о природе «объектов», или «элемен-

тов», б и Ь. Мне показалось желательным отказаться

даже от допущения о том, что эти «объекты», или «эле-

менты», удовлетворяют законам алгебры (хотя я и

считал, что это имеет место). Поэтому я попытался по-

строить систему, включавшую только аксиомы «мет-

рического» характера. Другим стимулирующим факто-

ром являлось стремление создать такую теорию, в ко-

- торой формула (4), упомянутая в прим. 1 к настоящей

статье, то есть

р(а,сс)=1,

была бы теоремой. Эта формула, как оказалось, яв-

ляется критерием адекватности для логической интер-

претации, и она вообще желательна в силу некоторых

общих соображений.

Первая система такого типа была сформулирована

мною в работе [6]. Я упростил ее аксиомы в 1956 году

(см. [7, соответствующая система аксиом приведена

на с. 191]). Эта упрощенная система и некоторое число

ее вариантов детально обсуждались в [12, прил. *IV].

Здесь я приведу еще один из ее вариантов4. В этой си-

стеме в качестве неопределяемых терминов исполь-

- зуются: класс 5 «объектов», или «элементов», а, Ь,...;

элемент-произведение ab элементов а и Ь; элемент-до-

•полнение б элемента а.

Система включает три аксиомы5.

4 По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332], настоя-

щая система в аксиоме В сочетает А2, В1 и В2, а С в ней есть

утверждение Cs, сформулированное в [12, с. 334].

5 Мы будем использовать следующие сокращения: «(х)» вместо

«Для всех элементов ч из S», «(Ел;)» для «существует по крайней ме-

Ре один элемент ч из S, такой, что», «... -^...» для «если... то...»,

*·«-*·» для «если, и только если» и «&» для «и».

58* 435

Постулат А. Если а и b — элементы S, то р(а, Ь) —

действительное число и выполняется следующая ак-

сиома:

А (Ее) (Ed) p (а, Ь)Фр (с, а).

Постулат В. Если а и b — элементы S, то ab — эле-

мент S, и при условии, что с (следовательно, be) и а

также являются элементами S, выполняется следующая

аксиома:

В (р(а,а) = р (be, d) &p (be, c) = p(d, с)) — -

- >· p (ab, с) = р(а, d) p (b, с) < p (a, c).

Постулат С. Если б — элемент S, фп б — также эле-

мент S, и при условии, что Ь, с и d также являются

элементами 5, выполняется следующая аксиома:

С с (б, б) Ц с (Ь, с) - > с (а, с)-\-р (a, c)--=p(d, d).

Аксиомы В и С являются непосредственными след-

ствиями (используются только подстановка и modus

ponens) следующих более сложных формул BD и

CD, которые, однако, имеют то важное преимущество,

что они могут рассматриваться как явные определения

соответственно произведения ab и дополнения а. (Фор-

мула BD представляет собой улучшенный вариант со-

ответствующей формулы из [12, с. 336]):

BD p (ab, d) = p (с, d) ^=* (el (E/) (p (a, d) ^

^p(c,d)^p (b, d) &.(p (a, d)^p (a, a) <

< с (d, /) - > p (a, a) < p (e, /))) — >·

- - p(a,e)p(b,d) = p (c, d))).

CD p (a, d) = p (b, d) ч=^ (e) (p (c, d) Ц

Ц p (с, с) -- >- p (а, с) -\-р (b, c) = p (с, е)).

С эстетической точки зрения оба этих определения

страдают некоторой громоздкостью — ровно половина

двойных стрелок является излишней. При выведении

аксиом В и С нам необходимы только стрелки, направ-

ленные слева направо. Определение Cd, которым мож-

но заменить CD, свободно от этого недостатка6:

Cd p (a, b) = p(c, с)—p (a, b) -й—н (Ed) p (с, с) Ц p (d, b).

В определении BD можно подставить «р(е, е)» вме-

сто второго вхождения «p (а, а)». (При этом A3 из

[12, с. 332] становится выводимой из BD.) В этом Слу-

чае можно упростить CD и Cd, записывая «р(а, а)»

вместо «р(е, е)» или «р(с, с)».

По сравнению с системой, приведенной в [12, с. 332] т

постулаты В и BD включают в себя А2. Наличие в си-

стеме А2 вместе с любой из других аксиом имеет то

преимущество, что получающаяся в результате система

является «полностью метрической» в том смысле, что

независимость всех ее аксиом можно доказать при по-

мощи примеров, удовлетворяющих законам булевой

алгебры. (Таким образом, «полная метричность» яв-

ляется более сильным свойством, чем «автономная не-

зависимость» в смысле [12, с. 343—344].) Полностью·

метрическую систему можно получить, не жертвуя при

этом «органичностью» (в том смысле этого термина, в-

котором он использовался в польской логической шко-

ле) наших аксиом, если сохранить все аксиомы (в том

числе В1 из [12, с. 332]), за исключением А2. Действи-

тельно, аксиома А2 органически. включается в В2 при

помощи, например, исключения «^р(а, с)» из форму-

лы В. Можно также сохранить В2 в се первоначальной

форме и органически включить А2 в постулат АР [12,

с. 333] следующим образом:

АР p(a) = p(a,b)—p(a,c)-{-p(a,d)

при условии, что p(b,c)=p(c, b)=p(d, e) для каждого

е из S.

6 Причиной этого является то обстоятельство, что Cd логически

сильнее С, поскольку оно позволяет заменить А логически более сла-

бой условной формулой. При наличии Cd к А можно добавить ого-

ворку: «при условии (Ee)(Ef)p(e, /)=^0» (или в словесной формули-

ровке: «при условии, что не все вероятности равны 0»). Своей логи-

ческой силой Cd обязано тому факту, что при наличии стрелки только

справа палево оно было бы эквивалентно С, тогда как наличие стрел-

ки слева направо позволяет дополнительно вывести H3*Cd, что не все

вероятности равны 0.

Следует отметить, что условие В в том виде, в каком оно сфор-

мулировано в тексте, можно заменить (более сильным) условием

«(e)p(bc, e)—p(d, e)». (Эта замена соответствует переходу от фор-

мулы А2+ [12, с. 335] к А2 [12, с. 332].)

iv

i

В этом случае АР, то есть определение абсолютной

вероятности, становится существенной и неотделимой

частью нашей системы.

ЛИТЕРАТУРА

1. G o o d I. J. A Theory of Causality. — «The British Journal for

the Philosophy of Science», 1958—1959, v. 9, № 36, p. 307—310.

2. K n e a l e W. Probability and Induction. Oxford, Clarendon

Press, 1949·.

3. K o r n e r S. (ed.) Observation and Interpretation: Proceedings

of the 9-th Symposium of Colston Research Society, held in University

of Bristol. London, Butterworths Scientific Publications, 1957.

4. P o p p e r K. Note on Berkeley as a Precursor of Mach. — «The

British Journal for the Philosophy of Science», 1963, v. 4. № 13,

p. 26—36.

5. P o p p e r K. Degree of Confirmation. — «The British Journal for

the Philosophy of Science», 1953, v. 5, № 18, p. 143—149.

6. P o p p e r K. Two Autonomous Axiom Systems for the Calculus

of Probabilities. — «The British Journal for the Philosophy of Science

», 1955—1956, v. 6, № 21, p. 51—57.

7. P o p p e r K. Philosophy of Science: A Personal Report. — In:

M a c e C. (ed.). British Philosophy in Mid-Century. London, George

Allen and Unwin, 1957, p. 155—191.

8. P o p p e r K. A Second Note on Degree of Confirmation. — «The

British Journal for the Philosophy of Science», 1956—1957, v. 7, № 28.

p, 350—353.

9. PoppjM· K. The Propensity Interpretation of the Calculus of

Probability and the Quantum Mechanics. — In: [3, p. 65—70].

10. P o p p e r K. Probability Magic or Knowledge our of Ignorance.

— «Dialectica», 1957, v. 11, № 3/4, p. 354—372.

11. P o p p e r K. A Third Note on Degree of Corroboration or Confirmation.

— «The British Journal for the Philosophy of Science», 1957—

1958, v. 8, № 32, p. 294—302.

12. P o p p e r K. The Logic of Scientific Discovery. London, Hut-

«chinson, 1969.