Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Анализ размерностей





Многие процессы пищевой технологии зависят от такого большого числа различных факторов, что для них не удается получить полного математического описания; можно лишь в самом общем виде представить зависимость между различными переменными, влияющими на протекание процесса.

Если, некоторая величина K 1 зависит от параметров K 2, K 3, K 4 и K 5, то общий вид зависимости между данными величинами

. (14)

Для отыскания конкретного вида этой функциональной зависимости, т. е. для нахождения расчетного уравнения, может быть применен метод анализа размерностей.

В основу метода положена p -теорема Бэкингема, согласно которой общую функциональную зависимость, связывающую между собой п переменных величин при т основных единиц их измерения, можно представить в виде зависимости между (п - т) безразмерными комплексами этих величин, а при наличии подобия - в виде связи между (п - т) критериями подобия.

Так, например, если рассматриваемое явление описывается соотношением (2.14), связывающим пять каких-то физических величин, и если эти величины выражаются посредством трех основных единиц измерения, то п = 5 и т = 3. Следовательно, (п - т) = 2, и указанная функциональная зависимость может быть представлена в виде функции между некоторыми двумя безразмерными комплексами p 1 и p 2:

. (15)

Структура функции должна обеспечивать свободу выбора единиц всех первичных величин и независимость отношения двух любых значений вторичной величины от выбора этих единиц (принцип абсолютности отношений). Таким свойством обладают только гомогенные функции. Эти функции могут быть представлены только степенными произведениями:

, (16)

где K – множитель преобразования вторичной величины, ki – множители преобразования первичных величин.

Показатель степени ai называется размерностью вторичной величины в отношении данной первичной. Совокупность размерностей принято записывать в виде формулы размерности, т. е. в виде символического уравнения, которое получается из последнего уравнения при замещении множителей преобразования величин их символами. При этом символ вторичной величины обычно берется в прямые скобки. Например, формула размерности для скорости (символ V) записывается в виде

, (17)

где L – символ длины, Т – символ времени.

Понятие размерности условно можно распространить и на первичные величины, считая размерность первичной величины в отношении самой себя равной единице, а в отношении любой другой первичной величины – нулю. При таком соглашении формула размерности первичной величины совпадает с ее символом. Окончательные формулы размерности должны быть приведены к первичным величинам. Например, для силы (символ F) имеем

(18)

где М – символ массы; А – символ ускорения.

Метод анализа размерностей основывается на следующих положениях.

Формулу размерностей производных единиц можно представить в виде степенного комплекса основных единиц. Если обозначить физическую величину через W, ее размерность в СИ можно записать

.

Пусть величина W является функцией n размерных величин

W = f (a1, a2,...., an).

Можно доказать, что эта зависимость заменится уравнением

П = f (1, 1,...., 1, , ,..., ), (19)

где роль размерных величин играет n-k безразмерных величин. В гидродинамических исследованиях основная система состоит из трех единиц (кг, м, с) значит k= 3, и вместо n величин изучаемое явление представляется в виде зависимости между n- 3 безразмерными комплексами этих величин. Зависимость (19) - то критериальное уравнение, которое исследователь должен установить, анализируя опытные данные в виде комбинаций безразмерных комплексов.

Покажем применение метода анализа размерностей на примере определения перепада давлений при движении жидкости в трубопроводе. При этом допустим, что дифференциальное уравнение, описывающее этот процесс, отсутствует.

Известно, что при установившемся движении жидкости в прямой трубе перепад давлений зависит от скорости жидкости v, ее плотности r, динамической вязкости m, ускорения свободного падения g, длины трубы l и ее диаметра d.

Таким образом, известна лишь функциональная зависимость общего вида

= f (v, ρ;, μ;, g, l, d). (20)

В данном случае число переменных n = 7, число единиц измерения (длины, времени и массы) k = 3. Тогда, согласно p -теореме, число безразмерных комплексов, описывающих процесс, должно быть равно (n - k) = 4.

Представим функциональную зависимость (20) в степенном виде

, (21)

где x, y, z, u, r, s, t - неизвестные числовые коэффициенты.

Единицы измерения в СИ и их размерности величин, входящих в (21):

;

;

;

;

;

;

.

Учитывая, что размерности обеих частей уравнения (21) одинаковы, а x - безразмерный коэффициент, заменим в нем все величины их размерностями

или при подстановке конкретного выражения размерностей каждой величины получаем

. (22)

Раскрывая скобки в правой части (2.22) и группируя однородные члены, находим

. (23)

Приравнивая показатели степеней при одинаковых членах, т. е. основных единицах в обеих частях уравнения (23), получаем систему

. (24)

В системе (24) из трех уравнений - шесть неизвестных, поэтому любые три из этих переменных можно выразить через три других

Подставим значения показателей степеней z, t, y в степенную зависимость (21)

или . (25)

Сгруппировав отдельные величины в (25), находим обобщенную зависимость для определения перепада давлений

. (26)

Таким образом, искомая функция, в соответствии с p -теоремой, представлена в виде соотношения между четырьмя безразмерными комплексами величин - критериями подобия Эйлера, Рейнольдса, Фруда и симплексом геометрического подобия. Числовые значения коэффициента x и показателей степеней u, r, s должны быть найдены опытным путем.

Величины, численные значения которых не зависят от выбора основных единиц измерения, называются безразмерными.

Методы подобия и размерностей тесно связаны между собой и указывают, как должен быть поставлен эксперимент, как составить программу исследований и каким требованиям должна удовлетворять модель, какие величины надо измерять в опытах и какие приборы при этом надо использовать, как следует обрабатывать полученные результаты и на какие явления их можно распространить, как обобщать и анализировать данные экспериментов.

Безразмерные степенные комплексы, составленные из величин, существенных для данного процесса, называются числами подобия. Число подобия, содержащее только заданные по условию задачи параметры, называется критерием подобия и обозначается первыми двумя буквами фамилий известных ученых, работавших в соответствующей области.

 







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 939. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...


ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...


Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...


Логические цифровые микросхемы Более сложные элементы цифровой схемотехники (триггеры, мультиплексоры, декодеры и т.д.) не имеют...

Роль органов чувств в ориентировке слепых Процесс ориентации протекает на основе совместной, интегративной деятельности сохранных анализаторов, каждый из которых при определенных объективных условиях может выступать как ведущий...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Тема: Кинематика поступательного и вращательного движения. 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью, проекция которой изменяется со временем 1. Твердое тело начинает вращаться вокруг оси Z с угловой скоростью...

СИНТАКСИЧЕСКАЯ РАБОТА В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ РЕЧИ УЧАЩИХСЯ В языке различаются уровни — уровень слова (лексический), уровень словосочетания и предложения (синтаксический) и уровень Словосочетание в этом смысле может рассматриваться как переходное звено от лексического уровня к синтаксическому...

Плейотропное действие генов. Примеры. Плейотропное действие генов - это зависимость нескольких признаков от одного гена, то есть множественное действие одного гена...

Методика обучения письму и письменной речи на иностранном языке в средней школе. Различают письмо и письменную речь. Письмо – объект овладения графической и орфографической системами иностранного языка для фиксации языкового и речевого материала...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия