Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Нахождение наилучшей линейной приближающей функции.




Разберем подробно решение задачи, когда решение ищется в виде линейной функции (вид1). Цель - определить коэффициенты a и b таким образом, чтобы величина

приняла наименьшее значение.

Функция F(a,b) представляет из себя многочлен второй степени относительно величин a и b с неотрицательными значениями, поэтому решение всегда существует. Более того, оно единственно, если узлов больше одного и все они разные.

Задача 5.1. Почему это действительно так? Какую поверхность задает F(a,b)?

Известно, что для поиска экстремумов гладких функций нескольких переменных нужно находить критические точки, т.е. те точки, в которых все частные производные функции равны нулю. В нашем случае необходимо решить следующую систему:

Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными a и b.

Перепишем ее в следующем виде:

Введем стандартные в статистике обозначения для моментов:

Тогда наша система перепишется в следующем виде:

которая решается стандартным образом.

Далее, осталось отметить, что раз критическая точка одна, а мы предварительно определили, что у нашей задачи решение есть, то задача решена полностью.

Разберем ПРИМЕР 5.1 нахождения наилучшей линейной функции.

Пусть зависимость задана таблицей

X -3 -1
Y

Для ручного вычисления моментов Mx, My, Mxx, Mxy построим таблицу:

  X Y X2 XY
  -3 -9
  -1 -4
 
 
 
Сумма
Среднее значение (М) 6.2 13.4

Отсюда получаем систему

9a+b=13.4 a=0.9

a+b=6.2 или b=5.3

Итак, наилучшая линейная функция имеет вид y=0.9x+5.3

Упражнение 5.1. Проверьте, что если исходные данные удовлетворяют линейной зависимости Yi=а*Xi+b, то и коэффициенты a и b, полученные при решении указанным методом совпадут с исходными.

Упражнение 5.2. Аналогично приведенному выше методу проделайте выкладки и получите систему уравнений для поиска коэффициентов a, b, c при подборе эмпирической квадратичной зависимости (функция вида 2).







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 414. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия