Нахождение наилучшей линейной приближающей функции.
Разберем подробно решение задачи, когда решение ищется в виде линейной функции (вид1). Цель - определить коэффициенты a и b таким образом, чтобы величина
приняла наименьшее значение. Функция F(a,b) представляет из себя многочлен второй степени относительно величин a и b с неотрицательными значениями, поэтому решение всегда существует. Более того, оно единственно, если узлов больше одного и все они разные. Задача 5.1. Почему это действительно так? Какую поверхность задает F(a,b)? Известно, что для поиска экстремумов гладких функций нескольких переменных нужно находить критические точки, т.е. те точки, в которых все частные производные функции равны нулю. В нашем случае необходимо решить следующую систему:
Это система двух линейных уравнений с двумя неизвестными a и b. Перепишем ее в следующем виде:
Введем стандартные в статистике обозначения для моментов:
Тогда наша система перепишется в следующем виде:
которая решается стандартным образом. Далее, осталось отметить, что раз критическая точка одна, а мы предварительно определили, что у нашей задачи решение есть, то задача решена полностью. Разберем ПРИМЕР 5.1 нахождения наилучшей линейной функции. Пусть зависимость задана таблицей
Для ручного вычисления моментов Mx, My, Mxx, Mxy построим таблицу:
Отсюда получаем систему 9a+b=13.4 a=0.9 a+b=6.2 или b=5.3 Итак, наилучшая линейная функция имеет вид y=0.9x+5.3 Упражнение 5.1. Проверьте, что если исходные данные удовлетворяют линейной зависимости Yi=а*Xi+b, то и коэффициенты a и b, полученные при решении указанным методом совпадут с исходными. Упражнение 5.2. Аналогично приведенному выше методу проделайте выкладки и получите систему уравнений для поиска коэффициентов a, b, c при подборе эмпирической квадратичной зависимости (функция вида 2).
|
