Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Оценка погрешности.





Итак, оценим погрешность формулы (2.1) в какой-нибудь точке ХÎ[a,b], т.е. будем оценивать R(X),где R(x)=f(x)-Pn(x)

Обозначим многочлен степени (n+1) с корнями в узлах интерполирования через w(x):

и введем вспомогательную функцию: F(x)=f(x)-Pn(x)-b w(x) (2.2)

При этом коэффициент b в формуле (2.2) мы выберем так, чтобы выполнялось условие

F(X)=0, т.е. f(X)-Pn(X)=b w(X) или R(X)=b w(X) (2.3).

Мы можем без ограничений общности считать, что точка Х не совпадает ни с одним из узлов Хi, поскольку в них погрешность равна 0. В этом случае вспомогательная функция обращается в нуль не менее (n+2) раз на отрезке [a,b]: в точке X и в узлах интерполяции, т.к. w(Xi)=0 и f(Xi)= Pn(Xi).

Используем теорему Ролля, которая утверждает, что между любыми двумя нулями дифференцируемой функции найдется нуль производной, видим, что первая производная F'(x) должна обращаться в нуль на отрезке [a,b] не менее (n+1) раз.

Аналогично, вторая производная F''(x) обращается в нуль не менее n-раз на отрезке [a,b] и т.д.

Рассуждая подобным образом, мы установим, что функция F(n+1)(x) обязательно обращается в нуль хотя бы один раз на отрезке [a, b].

Пусть F(n+1)(d)=0. Дифференцируя формулу (2.2) (n+1) раз, получаем:

F(n+1)(x)=f(n+1)(x)-0-b(n+1)!

откуда легко видеть, что:

f(n+1)(d)=b(n+1)!, или b=f(n+1) (d)/(n+1)!

Подставляя полученное выражение в (2.3), видим:

R(x)=f(n+1)(d)w(x)/(n+1)!,

откуда уже легко произвести нужную оценку

(2.4)

справедливую для всех точек отрезка [a,b].

Упражнения: Пользуясь формулой (2.4) произвести оценку точности интерполяции при Х=1.5 в условиях:

2.4. Упражнения (2.2) и предположения M3 < 10 на [1,3]

2.5. Упражнения (2.3) и предположения M4 < 16 на [-1,2]

Преимущество данного метода наглядно проявляется при малом количестве узлов и достаточно гладкой функции. Вычисления на ЭВМ здесь организуются сравнительно просто.

Упражнение 2.6. Составить программу на одном из языков для вычисления значения интерполяционного многочлена в форме Лагранжа (формула(2.1)).

Упражнение 2.7. Дополнить предыдущую программу таким образом, чтобы в случае, когда известен максимум (n+1)-ой производной исходной функции, вычислялась оценка погрешности.







Дата добавления: 2015-08-27; просмотров: 567. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Шрифт зодчего Шрифт зодчего состоит из прописных (заглавных), строчных букв и цифр...


Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Краткая психологическая характеристика возрастных периодов.Первый критический период развития ребенка — период новорожденности Психоаналитики говорят, что это первая травма, которую переживает ребенок, и она настолько сильна, что вся последую­щая жизнь проходит под знаком этой травмы...

РЕВМАТИЧЕСКИЕ БОЛЕЗНИ Ревматические болезни(или диффузные болезни соединительно ткани(ДБСТ))— это группа заболеваний, характеризующихся первичным системным поражением соединительной ткани в связи с нарушением иммунного гомеостаза...

Решение Постоянные издержки (FC) не зависят от изменения объёма производства, существуют постоянно...

Трамадол (Маброн, Плазадол, Трамал, Трамалин) Групповая принадлежность · Наркотический анальгетик со смешанным механизмом действия, агонист опиоидных рецепторов...

Мелоксикам (Мовалис) Групповая принадлежность · Нестероидное противовоспалительное средство, преимущественно селективный обратимый ингибитор циклооксигеназы (ЦОГ-2)...

Менадиона натрия бисульфит (Викасол) Групповая принадлежность •Синтетический аналог витамина K, жирорастворимый, коагулянт...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия