Схема Бернулли

np - q m np+ p,

Формулу Бернулли можно обобщить на случай, когда при каждом испытании происходит одно и только одно из событий с вероятностью (. Вероятность появления раз первого события и - второго и -го находится по формуле

 

При достаточно большой серии испытаний формула Бернулли становится трудно применимой, и в этих случаях используют приближенные формулы. Одну из них можно получить из предельной теоремы Пуассона:

 

Таблица значений функции имеется в приложении 3.

Пример 36. Система радиолокационных станций ведет наблюдение за группой объектов, состоящей из 8 единиц. Каждый объект может быть (независимо от других) потерян с вероятностью 0,1. Найти вероятность того, что хотя бы один из объектов будет потерян.

Решение. Пусть событие = {потерять системой радиолокационных станций хотя бы один объект}, тогда (1) (2) +...+ P (8)

Проще найти вероятность противоположного события - ни один объект не потерян.

 

Пример 37. На I курс педуниверситета поступило 1100 студентов. Найти наиболее вероятное число первокурсников ЯГПУ, родившихся в один день - в день знаний 1 сентября, и вероятность этого события.

Решение. В нашем случае Используем соотношение для наивероятнейшего числа :

 

Учитывая, что целое число, получаем = 3.

Найдем теперь P (3), используя теорему Пуассона и то, что :

(см. таблицу приложения 3).

Пример 38. Сколько раз придется бросать игральную кость, чтобы наивероятнейшее число появления шестерки было бы 10?

Решение. По условию задачи имеем наивероятнейшее число = 10 и вероятность выпадения шестерки при одном подбрасывании игральной кости тогда Это двойное неравенство равносильно системе двух неравенств:

 

Пример 39. В Ярославле 50% школьников изучают английский язык, 30% - немецкий и 20% - французский. Какова вероятность того, что из девяти слушателей подготовительного отделения физмата четверо изучали в школе английский язык, трое - немецкий и двое - французский?

Решение. По условию задачи = 9, = 4, = 0,5, = 3, = 0,3, = 2, = 0,2 и

 

Пример 40 (задача С. Пепайса). Пепайс предложил Ньютону следующую задачу. Какое из событий более вероятно:

= {появление по крайней мере одной шестерки при подбрасывании 6 костей},

= { появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей} и

= {появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей}?

Решение. Проще находить, а затем сравнивать вероятности противоположных событий. Воспользуемся теоремой Пуассона для нахождения и

 

 

 

Отсюда , или , т.е.

.