Пример 41.

Для схемы, изображенной на рис.1 необходимо:

Рис.1

 

1) Определить площадь поперечного сечения стержней при действии силы F и подобрать угловую равнополочную или неравнополочную сталь, при условии, что поперечное сечение одного из стержней в два раза больше, чем другого.

2) Определить напряжения в стержнях:

- от действия силы F;

- от неточности монтажа, если считать, что один из стержней выполнен короче на величину ;

- от изменения температуры.

3) Определить суммарные напряжения от действия внешних сил, от неточности монтажа и от изменения температуры.

4) Подсчитать недонапряжения или перенапряжения в стержнях.

Дано: F=100 кН, а = 1,2м, b = 0,8м, = 0,2мм, = 20°С, Е = 2×10⁵МПа, = 125×10^-71/гр, [] = 100 МПа.

Решение.

Определим необходимую по условию прочности площадь поперечного сечения стержней.

1) Находим степень статической неопределимости.

2.1) Статическая сторона задачи

; ;

; ;

; .

2.2) Геометрическая сторона задачи (рис.2)

~ Þ

; ; ;

2.3) Физическая сторона задачи

;

Рис.2

 

2.4) Синтез

Подставим выражения, полученные в физической стороне задачи, в выражения из геометрической стороны задачи и приведем подобные.

 

Решим совместно систему уравнений, составленную из полученного выражения для N₁ и уравнения моментов из статической стороны задачи.

2.5) Определяем площадь поперечного сечения стержней

Определим, какой из стержней нагружен сильнее.

;

Второй стержень является более нагруженным, так как , поэтому запишем для него условие прочности и определим площадь поперечного сечения.

Подбираем по справочнику угловую равнополочную сталь № 70´5 ГОСТ8509-86 (S_Т = 6,86 см²).

2.6) Определяем напряжения в стержнях от внешних сил

Первый стержень работает на сжатие, а второй – на растяжение.

3) Определим напряжения в стержнях от неточности монтажа

Будем считать, что короткий стержень выполнен короче на величину (см.рис.3).

Рис.3

 

3.1) Статическая сторона задачи

; ;

; ;

; .

3.2) Геометрическая сторона задачи

~ Þ

; ; ;

3.3) Физическая сторона задачи

;

3.4) Синтез

Подставим в полученное выражение данные из условия задачи и получим:

3.5) Определим напряжения в стержнях

Оба стержня работают на растяжение.

4) Определим напряжения в стержнях от изменения температуры (см. рис. 4).

Рис.4

 

Будем считать, что температура системы повышается. Тогда оба стержня будут удлиняться от повышения температуры. При удлинении стержней, они будут воздействовать друг на друга через недеформируемый стержень АС. Вследствие этого, в обоих стержнях будут возникать дополнительные силы сжатия.

4.1) Статическая сторона задачи

; ;

; ;

; .

4.2) Геометрическая сторона задачи

~ Þ

; ; ;

4.3) Физическая сторона задачи

;

.

4.4) Синтез

Решив уравнение, получим .

4.5) Определим напряжения в стержнях

Оба стержня работают на сжатие.

5) Определим суммарные напряжения в стержнях

6) Найдем недонапряжения или перенапряжения в стержнях

- недонапряжение

- недонапряжение.