Решение. 1. Найти усилия в тягах, реакции в опоре С и угловое смещение (поворот бруса вокруг т

1. Найти усилия в тягах, реакции в опоре С и угловое смещение (поворот бруса вокруг т. С), как функции от величины силы Р. Для определения величин усилий в тягах в зависимости от Р применим метод сечений. Сделав сечение по всем тягам и приложив в местах сечений усилия N ₁, N ₂ и N ₃, возникающие в тягах, рассмотрим равновесие остав­шейся части, нагруженной продольными усилиями в тягах N ₁, N ₂ и N ₃ реакциями опоры С (R_C и H_C) и силой Р (рис. 1, б). Составив уравнения равновесия статики для оставшейся части, получим:

1) , Н_C = 0; (1)

2) , - Р + N ₁ + R_C - N ₂ - N ₃ = 0; (2)

3) , . (3)

Рис.1

 

Из уравнений равновесия видно, что система дважды стати­чески неопределима, т.к. два уравнения равновесия (2) и (3) содержат в своем составе четыре неизвестных. Поэтому для реше­ния задачи необходимо составить два дополнительных уравнения совместности деформаций, раскрывающих статическую неопреде­лимость системы.

Для составления дополнительных уравнений рассмотрим де­формированное состояние системы (рис. 1, в), имея в виду, что брус абсолютно жесткий и поэтому после деформации тяг останет­ся прямолинейным.

Эти дополнительные уравнения совместности деформаций по­лучим из подобия треугольников ВСВ ₁= DCD ₁ и BCB ₁= ECE ₁:

и .

Решая эти уравнения, получим:

(4)

. (5)

Выразив деформации тяг по формуле определения абсолютного удлинения:

и подставив эти значения в уравнения (4) и (5), получим:

(6)

. (7)

Подставив найденные значения N ₂ и N ₃ в уравнение (3) оп­ределяем величину N ₁ :

; N ₁=0,3333 P.

Зная N ₁, из уравнений (6) и (7), находим N ₂ и N ₃:

.

Опорную реакцию R_C определяем из уравнения (2), подста­вив найденные значения N ₁, N ₂ и N ₃:

-P + 0,333 P + R_C - 0,167 P - 0,833 P = 0; R_C = 1,667 P.

После определения величин усилий в тягах N ₁, N ₂, N ₃ и реак­ции R_C необходимо проверить правильность их вычисления. Для этого составим уравнение равновесия статики :

- N ₁× a - R_C (a + b) + N ₂ (a + b + c) + N ₃ (a + b + c + d) = 0;

0 = 0.

Следовательно, N ₁, N ₂, N ₃ и R_C определены правиль­но.

Угловое смещение бруса (угол ), ввиду его малости, находим как тангенс угла наклона бруса АЕ:

[рад].

2. Определить в процессе увеличения нагрузки Р такую ее величину, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести. Для вы­числения величины Р, при которой напряжение в одной из тяг достигнет предела текучести s _T, определим нормальные напряже­ния, возникающие в тягах, учитывая то, что тяги работают на рас­тяжение:

Полученные величины напряжений показывают, что в тяге 3 напряжение достигнет предела текучести раньше, чем в тягах 1 и 2, так как и . Поэтому, приравняв напряжение пре­делу текучести , определим величину Р, при которой нормальное напряжение в тяге 3 достигнет предела текучести :

кПа,

откуда

кН.

3. Определить в процессе увеличения нагрузки Р ее предельную величину, при которой напряжения в трех тягах достигнут предела текучести, ре­акцию опоры С и соответствующий этому пре­дельному состоянию угол. При исчерпании несущей спо­собности всех тяг напряжения в них достигнут предела текучести . В этом случае предельные усилия, которые возникнут в тягах, будут равны:

кH;

кH;

кH.

Предельную величину внешней нагрузки, соответствующую ис­черпанию несущей способности, найдем из уравнения (3), под­ставив в него предельные значения , , :

; кН.

Предельную величину реакции определяем из уравнения (2):

-72 + 48 + - 24 - 48 = 0; = 96 кН.

При определении наименьшего угла поворота бруса, соответст­вующего предельному состоянию системы, необходимо знать, в какой из тяг текучесть наступит позже.

Полученные величины напряжений (см. п. 2) показывают, что в тягах 1 и 2 напряжения достигнут предела текучести одновремен­но, но позже, чем в тяге 3. Поэтому предельный угол поворота бруса определяем для момента перехода материала тяг 1 и 2 в плас­тическое состояние:

рад,

или

рад.

4. Найти несущую способность из расчетов по методам допускаемых напряжений и разруша­ющих нагрузок при одном и том же коэффициенте запаса прочности. Сопоставить результаты и сделать вывод. Из предыдущих расчетов (см. п. 2) видно, что текучесть материала раньше появится в тяге 3, т.к. и . Поэтому для определения величины грузоподъемности из расчета по методу допускаемых напряжений приравниваем напря­жение в этой тяге к допускаемому напряжению:

кПа,

,

кH.

Несущая способность конструкции из расчета по методу раз­рушающих нагрузок получим путем деления ранее полученного значения P_ПР = 72 кН на коэффициент запаса n ₁ = 1,5:

кH.

Сравнивая полученные величины, видим, что несущая спо­собность из расчета по методу разрушающих нагрузок больше несу­щей способности из расчета по методу допускаемых напряжений на , что подтверждает известное положение о том, что метод допускаемых напряжений, в отличии от метода разрушающих нагрузок, не позволяет определить полную несущую способность системы. Это объясняется тем, что для статически неопределимых систем, переход одного элемента в пластическую стадию работы, как правило, не означает наступления предель­ного состояния. Переход системы в предельное состояние отождествляется с превращением ее из неизменяемой в геометри­чески изменяемую систему. Известно, что в статически неопреде­лимой системе разрушение “лишних связей” не превращает ее в геометрически изменяемую. Так как реальные сооружения чаще всего представляют собой многократно статически неопределимые системы, материал которых обладает свойством пластичности, по­этому метод предельного равновесия имеет важное значение для раскрытия истинных резервов их несущей способности.