Формула полной вероятности
Формула полной вероятности Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий B1, В2,..., Bn, которые образуют полную группу. Пусть известны вероятности этих событий и условные вероятности PB1(А), РВ2(а),.... РBn(А) события А. Как найти вероятность события A? Ответ на этот вопрос дает следующая теорема. Теорема. Вероятность события А, которое может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий B1, B2,..., Вn образующих полную группу, равна сумме произведений вероятностей каждого из этих событий, на соответствующую условную вероятность события А: Р(А)=Р(В1) РВ1(А)+Р(В2)РВ2(А)+...+Р(Bn)РBn(A). Эту формулу называют «формулой полной вероятности». Пример 1. Имеется два набора деталей. Вероятность того, что деталь первого набора стандартна, равна 0,8, а второго - 0,9. Найти вероятность того, что взятая наудачу деталь (из наудачу взятого набора) - стандартная. Решение. Обозначим через А событие «извлеченная деталь стандартна». Деталь может быть извлечена либо из первого набора (событие B1), либо из второго (событие В2). Вероятность того, что деталь вынута из первого набора, P(B1)=1/2. Вероятность того, что деталь вынута из второго набора, Р(В2)=1/2. Условная вероятность того, что из первого набора будет извлечена стандартная деталь, РB1(А)=0,8. Условная вероятность того, что из второго набора будет извлечена стандартная деталь, РB2(A)=0,9. Искомая вероятность того, что извлеченная наудачу деталь - стандартная, по формуле полной вероятности равна Р(А)=Р(B1)РB1(А)+Р(В2)РВ2(А)=0,5·0,8+0,5·0,9=0,85. Пример 2. В первой коробке содержится 20 радиоламп, из них 18 стандартных; во второй коробке - 10 ламп, из них 9 стандартных. Из второй коробки наудачу взята лампа и переложена в первую. Найти вероятность того, что лампа, наудачу извлеченная из первой коробки, будет стандартной. Решение. Обозначим через А событие «из первой коробки извлечена стандартная лампа». Из второй коробки могла быть извлечена либо стандартная лампа (событие B 1), либо нестандартная (событие В2). Вероятность того, что из второй коробки извлечена стандартная лампа, P(B)=9/10. Вероятность того, что из второй коробки извлечена нестандартная лампа, Р(В)=1/10. Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена стандартная лампа, равна РB1(A)=19/21. Условная вероятность того, что из первой коробки извлечена стандартная лампа, при условии, что из второй коробки в первую была переложена нестандартная лампа, равна РB2(A)=18/21. Искомая вероятность того, что из первой коробки будет извлечена стандартная лампа, по формуле полной вероятности равна Р(А)=Р(B1)РB1(А)+Р(В2)РВ2(А)=(9/10)(19/21)+(1/10)(18/21)=0,9.
|
