ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ. ФОРМУЛА БАЙЕСА

Теорема 5. Пусть событие А может произойти только с одним из событий Н₁, Н₂,…, Н_n, образующих полную группу попарно несовместных событий, т. е. и

Тогда вероятность события A вычисляется по формуле полной вероятности

При этом события Н₁, Н₂,…, Н_n, обычно называют гипотезами, а числа Р(Н_i) — вероятностями гипотез.

Теорема 6. Если в результате опыта осуществилось событие А, топрежние, доопытные (или априорные) вероятности гипотез P(Н₁), P(Н₂), …, P(Н_n) должны быть заменены на новые, послеопытные (или апостериорные) вероятности ,…, , которые вычисляются по формуле Байеса:

(i = 1,2, …, n), где вероятность P(A) вычисляется по формуле (1).

5.1. 45%телевизоров, имеющихся в магазине, изготовлены на 1-м заводе, 15% – на 2-м остальные на 3-м заводе. Вероятности того, что телевизоры, изготовленные на этих заводах, непотребуют ремонта в течение гарантийного срока, равны 0,96, 0,84, 0,90 соответственно. Найти вероятность того, что купленные наудачу телевизор выдержит гарантийный срок работы.

О Пусть событие: А = {телевизор выдержит гарантийный срок работы}, а гипотезы Н₁ = {телевизор изготовлен на 1-м заводе), Н₂ = {телевизор изготовлен на 2-м заводе}, Н₃ = {телевизор изготовлен на 3 заводе}. События Н₁, Н₂, Н₃ образуют полную группу несовместных событий, при этом: Р(Н₁) = 0,45; Р(Н₂) = 0,15; Р(Н₃) = 0,40. (Для контроля можно найти сумму вероятностей гипотез; она должна равняться единице).

По условию , , . Отсюда по формуле полной вероятности имеем

5.2. Для улучшения качества радиосвязи используются два радиоприемника. Вероятность приема сигнала каждым приемником равна 0,8, и эти события (прием сигнала приемником) независимы. Определить вероятность приема сигнала, если вероятность безотказной работы за время сеанса радиосвязи для каждого приемника равна 0,9.

О Пусть событие А = {сигнал будет принят}. Рассмотрим четыре гипотезы Н₁ = {первый приемник работает, второй — нет}; Н₂ = {второй приемник работает, первый – нет}; Н₃ = {оба приемника работают}, Н₄ = {оба приемника не работают}. Событие А может произойти только с одной из этих гипотез. Найдем вероятность этих гипотез, рассматривая следующие события: С₁ = {первый приемник работает}, С₂ = {второй приемник работает}. Тогда:

;

;

;

.

(Контроль: )

Условные вероятности соответственно равны:

; ; ; .

Теперь по формуле полной вероятности находим искомую вероятность

P(A) = 0.09 · 0,8 + 0,09 · 0,8 + 0,81 · 0,96 + 0,01 · 0 = 0,9216.

5.3. Имеются две одинаковые урны с шарами. В 1-й находится 3 белых и 4 черных шара, во 2-й – 2 белых и 3 черных. Из наудачу выбранной урны вынимают один шар. Какова вероятность того, что этот шар белый?

5.4. Студент знает 24 билета из 30. В каком случае вероятность вытащитьсчастливый билет для него больше, если он идет сдавать экзамен первым или если вторым?

5.5. На рисунке 14 изображена схема дорог. Туристы выходят из пункта А, выбирая наугад на развилке дорог один из возможных путей. Какова вероятность того, что они попадут в пункт В?

Рис.14.

5.6. Три стрелка произвели по одному выстрелу по намеченной цели. Вероятность попадания 1-м стрелком равна 0,6, 2-м – 0,7, 3-м – 0,8. При одном попадании в мишень вероятность поражения цели равна 0,2, при двух – равна 0,6, при трех – заведомо поражается. Найти вероятность поражения цели.

5.7. Известно, что в среднем 95% выпускаемой продукции удовлетворяет стандарту. Упрощенная схема контроля признает пригодной продукцию с вероятностью 0,96, если она стандартна, и с вероятностью 0,06, если она нестандартна. Найти вероятность того, что взятое наудачу изделие пройдет упрощенный контроль.

5.8. Техническое устройство выйдет из строя, если откажут не менее двух из трех независимо работающих элементов. Вероятности отказов 1-го, 2-го, 3-го элементов соответственно равны 0,2; 0.4; 0,3.

Известно, что устройство отказало. Найти вероятность того, что отказали 1-й и 2-й элементы.

О Пусть событие А = {устройство отказало}. До опыта, т. е. до отказа устройства, можно сделать следующие предположения-гипотезы:

Н₁ = {откажут все три элемента};

Н₁ = {откажут два элемента: 1-й и 2-й, 3-й — не откажет};

Н₂ = {откажут два элемента: 1-й и 3-й, 2-й — не откажет};

Н₃ = {откажут два элемента: 2-й и 3-й, 1-й — не откажет};

Н₄ = {откажет один элемент: 1-й, не откажут 2-й, 3-й};

Н₅ = {откажет один элемент: 2-й, не откажут 1-й, 3-й};

Н₆ = {откажет один элемент: 3-й, не откажут 1-й, 2-й};

Н₇ = {все элементы, будут работать}.

Пользуясь правилом умножения вероятностей для независимых событий, найдем вероятности этих гипотез:

Р(Н₀) = 0,2 · 0.4 · 0,3 = 0,024;

Р(Н₁) = 0,2 · 0,4 · 0,7 = 0,056;

Р(Н₂) = 0,2 · 0,3 · 0,6 = 0,036;

Р(Н₃) = 0,4 · 0,3 · 0,8 = 0,096;

Р(Н₄) = 0,2 · 0,6 · 0,7 = 0,084;

Р(Н₅) = 0,4 · 0.8 · 0,7 = 0,224;

Р(Н₆) = 0,3 · 0,8 · 0,6 = 0,144;

Р(Н₇) = 0,8 · 0,6 · 0,7 = 0,336.

(Контроль: .)

Учитывая, что в результате опыта произошло событие А, которое невозможно при гипотезах Н₄, Н₅, Н₆, Н₇ и достоверно при гипотезах Н₀, Н₁, Н₂, Н₃, найдем условные вероятности событий

; ; ; ; ; ; ; .

Найдем вероятность гипотезы Н₁ при условии, что событие А произошло (т. е. )по формуле Байеса, для этого предварительно найдем вероятность события А по формуле (1)

Отсюда

5.9. Предположим, что 5% мужчин и 0,25% всех женщин дальтоники. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Считая, что мужчин и женщин одинаковое количество, найти вероятность того что этот человек: а) мужчина, б) женщина.

О Пусть событие А = {выбранный человек оказался дальтоником}. Тогда в качестве гипотез примем события Н₁ = {выбранный человек – мужчина} и Н₂ = {выбранный человек — женщина}. Очевидно,

Для нахождения искомых вероятностей, т. е. условных вероятностей , , воспользуемся формулой Байеса. Сначала по формуле полной вероятности найдем Р(А): т. к. по условию , то Р(А) = 0,5 · 0,05 + 0,5 · 0,0025 = 0,02625.

Следовательно:

а) ;

б) .

Отметим, что сумма условных вероятностей гипотез (т. е. апостериорных вероятностей) также равна единице ).

5.10. Система обнаружения самолета из-за наличия помех в зоне действия локатора может давать ложные показания с вероятностью 0,05, а при наличии цели в зоне система обнаруживает ее с вероятностью 0,9. Вероятность появления противника в зоне равна 0,25. Определить вероятность ложной тревоги.

5.11. В условиях задачи 5.7 взятое изделие прошло упрощенный контроль. Найти вероятность того, что оно стандартное. А если изделие дважды прошло упрощенный контроль?

5.12. В условиях задачи 5.5 туристы пришли в пункт В. Какова вероятность того, что они пошли по дороге № 3?

5.13. В магазин поступают одинаковые изделия с трех заводов, причем 1-й завод поставил 50 изделий, 2-й — 30, 3-й — 20 изделий. Среди изделий 1-го завода – 70% первосортных, а среди изделий 2-го — 80%, 3-го — 90% первосортных. Куплено одно изделие. Оно оказалось первосортным. Какова вероятность того, что это изделие выпущено 1-м заводом?

5.14. Перед посевом 80% всех семян было обработано ядохимикатами. Вероятность поражения растений, проросших из этих семян вредителями равна 0,06, а растений проросших из необработанных семян — 0,3. Какова вероятность того, что взятое наудачу растение окажется пораженным? Если оно пораженное, то какова вероятность того, что оно выращено из обработанного семени?