ОБРАБОТКА ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК

 

§ 5.1. Задачи обработки

 

После проведения опроса группы экспертов осуществля­ется обработка результатов. Исходной информацией для обработки являются числовые данные, выражающие предпочтения экспертов, и содержательное обоснование этих предпочтений. Целью обработки является получе­ние обобщенных данных и новой информации, содержа­щейся в скрытой форме в экспертных оценках. На осно­ве результатов обработки формируется решение проб­лемы.

Наличие как числовых данных, так и содержательных высказываний экспертов приводит к необходимости при­менения качественных и количественных методов обра­ботки результатов группового экспертного оценивания. Удельный вес этих методов существенно зависит от клас­са проблем, решаемых экспертным оцениванием.

Как отмечалось в первой главе, все множество проб­лем можно разделить на два класса. К первому классу относятся проблемы, для решения которых имеется до­статочный уровень знании и опыта, т. е. имеется необ­ходимый информационный потенциал. При решении про­блем, относящихся к этому классу, эксперты рассмат­риваются как хорошие в среднем измерители. Под тер­мином «хорошие в среднем» понимается возможность получения результатов измерения, близких к истинным.

Для множества экспертов их суждения группируются вблизи истинного значения. Отсюда следует, что для об­работки результатов группового экспертного оценивания проблем первого класса можно успешно применять ме­тоды математической статистики, основанные на осред­нении данных.

Ко второму классу относятся проблемы, для решения которых еще не накоплен достаточный информационный потенциал. В связи с этим суждения экспертов могут очень сильно различаться друг от друга. Более того, суждение одного эксперта, сильно отличающееся от остальных мнений, может оказаться истинным. Очевид­но, что применение методов осреднения результатов групповой экспертной оценки при решении проблем вто­рого класса может привести к большим ошибкам. По­этому обработка результатов опроса экспертов в этом случае должна базироваться на методах, не использую­щих принципы осреднения, а на методах качественного анализа.

Учитывая, что проблемы первого класса являются наиболее распространенными в практике экспертного оценивания, основное, внимание в этой главе уделяется методам обработки результатов экспертизы для этого класса проблем.

В зависимости от целей экспертного оценивания и выбранного метода измерения при обработке результа­том опроса возникают следующие основные задачи:

построение обобщенной оценки объектов па основе индивидуальных оценок экспертов;

построение обобщенной оценки на основе парного сравнения объектов каждым экспертом;

определение относительных весов объектов;

определение согласованности мнений экспертов;

определение зависимостей между ранжировками;

оценка надежности результатов обработки.

Задача построения обобщенной оценки объектов по индивидуальным оценкам экспертов возникает при груп­повом экспертном оценивании. Решение этой задачи за­висит от использованного экспертами метода измерения.

При решении многих задач недостаточно осуществить упорядочение объектов по одному показателю или неко­торой совокупности показателей. Желательно иметь чис­ленные значения для каждого объекта, определяющие относительную его важность по сравнению с другими объектами. Иными славами, для многих задач необхо­димо иметь оценки объектов, которые не только осуще­ствляют их упорядочение, но и позволяют определять степень предпочтительности одного объекта перед дру­гим. Для решения этой задачи можно непосредственно применить метод непосредственной оценки (см. пара­граф 2.3). Однако эту же задачу при определенных усло­виях можно решить путем обработки оценок экспертом.

Определение согласованности мнении экспертов про­изводится путем вычисления числовой меры, характери­зующей степень близости индивидуальных мнений. Ана­лиз значения меры согласованности способствует выра­ботке правильного суждения об общем уровне знаний по решаемой проблеме и выявлению группировок мне­ний экспертов. Качественный анализ причин группиров­ки мнений позволяет установить существование различ­ных взглядов, концепций, выявить научные школы, опре­делить характер профессиональной деятельности и т. п. Все эти факторы дают возможность более глубоко осмыслить результаты опроса экспертов.

Обработкой результатов экспертного оценивания можно определять зависимости между ранжировками различных экспертов и тем самым устанавливать един­ство и различие в мнениях экспертов. Важную роль иг­рает также установление зависимости между ранжиров­ками, построенными по различным показателям сравне­ния объектов. Выявление таких зависимостей позволяет вскрыть связанные показатели сравнения и, может быть, осуществить их группировку по степени связи. Важность задачи определения зависимостей для практики очевид­на. Например, если показателями сравнения являются различные цели, а объектами — средства достижения це­лей, то установление взаимосвязи между ранжировка­ми, упорядочивающими средства с точки зрения дости­жения целей, позволяет обоснованно ответить на вопрос, в какой степени достижение одной цели при данных средствах способствует достижению других целей.

Оценки, получаемые на основе обработки, представ­ляют собой случайные объекты, поэтому одной из важ­ных задач процедуры обработки является определение их надежности. Решению этой задачи должно уделяться соответствующее внимание.

Обработка результатов экспертизы представляет со­бой трудоемкий процесс. Выполнение операций вычисления оценок и показателей их надежности вручную свя­зано с большими трудовыми затратами даже в случае решения простых задач упорядочения. В связи с этим целесообразно использовать вычислительную технику и особенно ЭВМ. Применение ЭВМ выдвигает проблему разработки машинных программ, реализующих алгорит­мы обработки результатов экспертного оценивания.

§ 5.2. Групповая оценка объектов

В данном параграфе рассматриваются алгоритмы обра­ботки результатов экспертного оценивания множества объектов. Пусть m экспертов произвели оценку п объек­тов по l показателям. Результаты оценки представлены в виде величин , где j —номер эксперта, i — номер объекта, h — номер показателя (признака) сравнения. Если оценка объектов произведена методом ранжирова­ния, то величины представляют собой ранги. Если оценка объектов выполнена методом непосредственной оценки или методом последовательного сравнения, то величины представляют собой числа из некоторого отрезка числовой оси, или баллы. Обработка результа­тов оценки существенно зависит от рассмотренных мето­дов измерения.

Рассмотрим вначале случай, когда величины (i = 1,…, п; j=1, 2,..., m; h=1, 2,..., l) получены мето­дами непосредственной оценки или последовательного
сравнения, т. е. являются числами, или баллами. Для получения групповой оценки объектов в этом случае можно воспользоваться средним значением оценки для
каждого объекта

(i=1, 2, …, n), (5.1)

где — коэффициенты весов показателей сравнения объектов, kj — коэффициенты компетентности экспертов. Коэффициенты весов показателей и компетентности объ­ектов являются нормированными величинами

(5.2)

Коэффициенты весов показателем могут быть опреде­лены экспертным путем. Если — коэффициент веса h-го показателя, даваемый j-м экспертом, то средний ко­эффициент веса h- гопоказателя по всем экспертам ра­вен

(5.3)

Получение групповой экспертной оценки путем сум­мирования индивидуальных оценок с весами компетент­ности и важности показателей при измерении свойств объектов в кардинальных шкалах основывается на пред­положении о выполнении аксиом теории полезности фон Неймана — Моргенштерна как для индивидуальных, так и для групповой оценки [39] и условий неразличимости объектов в групповом отношении, если они неразличимы во всех индивидуальных оценках (частичный принцип Парето) [31]. В реальных задачах эти условия, как пра­вило, выполняются, поэтому получение групповой оцен­ки объектов путем суммирования с весами индивидуаль­ных оценок экспертов широко применяется на практике.

Коэффициенты компетентности экспертов можно вы­числить по апостериорным данным, т. е. по результатам оценки объектов. Основной идеей этого вычисления яв­ляется предположение о том, что компетентность экспер­тов должна оцениваться по степени согласованности их оценок с групповой оценкой объектов.

Алгоритм вычисления коэффициентов компетентно­сти экспертов имеет вид рекуррентной процедуры:

; (5.4)

; (5.5)

. (5.6)

Вычисления начинаются с t=1. В формуле (5.4) началь­ные значения коэффициентов компетентности принима­ются одинаковыми и равными kj°=1/m. Тогда по формуле (5.4) групповые оценки объектов первого приближе­нии равны средним арифметическим значениям оценок экспертов

. (5.7)

Далее вычисляется величина λ¹ по формуле (5.5):

(5.8)

и значение коэффициентов компетентности первого приближения по формуле (5.6):

(5.9)

Используя коэффициенты компетентности первого приближения, можно повторить весь процесс вычисле­ния по формулам (5.4), (5.5), (5.6) и получить вторые приближения величин .

Повторение рекуррентной процедуры вычислений оце­нок объектов и коэффициентов компетентности естест­венно ставит вопрос о ее сходимости. Для рассмотрения этого вопроса исключим из уравнений (5.4), (5.6) пере­менные и и представим эти уравнения в векторной форме

, (5.10)

где матрицы В размерности n∙n и С размерности m∙m равны

. (5.11)

Величина в уравнениях (5.10) определяется по формуле (5.5).

Если матрицы В и С неотрицательны и неразложимы, то как это следует из теоремы Перрона-Фробениуса [33], при t→∞ векторы и сходятся к собственным векторам матриц В и С, соответствующим максимальным собственным числам этих матриц

, . (5.12)

Предельные значения векторов x и k можно вычислить из уравнений:

(5.13)

где , — максимальные собственные числа матриц В и С.

Условие неотрицательности матриц В и С легко вы­полняется выбором неотрицательных элементов мат­рицы X оценок объектов экспертами.

Условие неразложимости матриц В и С практически выполняется, поскольку, если эти матрицы разложимы, то это означает, что эксперты и объекты распадаются на независимые группы. При этом каждая группа экс­пертов оценивает только объекты своей группы. Естест­венно, что получать групповую оценку в этом случае нет смысла. Таким образом, условия неотрицательности и неразложимости матриц В и С, а следовательно, и условия сходимости процедур (5.4), (5.5), (5.6) в практи­ческих условиях выполняются.

Следует заметить, что практическое вычисление век­торов групповой оценки объектов и коэффициентов ком­петентности проще выполнять по рекуррентным форму­лам (5.4), (5.5), (5.6). Определение предельных значе­ний этих векторов по уравнению (5.13) требует примене­ния вычислительной техники.

Пример. Три эксперта (m = 3) оценили значение двух мероприя­тий (n=2) по решению одной проблемы (l =1), приведя нормированные оценки мероприятий (табл. 5.1).

Проведем вычисление групповых оценок мероприятий и коэффи­циентов компетентности экспертов по формулам (5.4), (5.5), (5.6). Средние оценки объектов первого приближения по формуле (5.4) при t=1 равны

.

Эксперт Мероприятие	Э1	Э2	Э3
М1	0,3	0,5	0,2
М2	0,7	0,5	0,8

 

Вычислим величину λ¹ по формуле (5.5). В результате имеем

λ¹=1∙0,335+2∙0,665=1,665.

Вычисляем коэффициенты компетентности первого приближения по формуле (5.6):

;

;

.

Вычисляя групповые оценки объектов второго приближения, получаем вектор x²=(0.324; 0.676). Величина λ²=1,676. Вектор коэффициентов компетентности второго приближения равен k²=(0,341; 0,298; 0,361). Для третьего приближения получаем x³=(0,3233; 0,6765), λ³=1,6765, k³=(0,341; 0,298; 0,361). Как следует из результатов третьего приближения, вектор коэффициентов компетентности стабилизировался. Поэтому дальнейшие вычисления не дадут существенного уточнения.

Рассмотрим теперь вычисление предельных значений векторов групповой оценки и коэффициентов компетентности по уравнениям (5.13). Вычисляя матрицу В=ХХ’, получаем

.

Максимальное собственное число матрицы В определяется как максимальный корень уравнения

|В-λE |=0,

где Е – единичная матрица. Записывая в явном виде определитель, получаем

.

Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение

λ² - 1,76λ + 0,14 = 0.

Максимальный корень этого yравнения ранен λo=l,676. Сравнивая это значение со вторым и третьим приближением λ², λ³, убеждаемся в том, что они близки. Вектор групповых оценок вычисляется путем решения системы уравнений

.

Решая эту систему yравнений, получаем =0,3235, =0,6765, что соответствует результатамрекуррентных вычислений третьего при­ближения.

Вычисляя матрицу С = Х'Х, получаем

.

Составляя уравнение |С — XE|=0 и раскрывая определитель, полу­чаем уравнение

λ(λ²-1,76λ+0,14)=0.

Отсюда следует, что максимальное собственное число для матрицы С совпадает с максимальным собственным числом матрицы В: λо=1,676.

Система уравнений для определения предельных коэффициентов компетентности имеет вид

.

Решая эту систему уравнений, получаем =0,34077, =0,298, =0,36123. Эти значения близки к третьему приближению коэффициентов компетентности.

Рассмотрим теперь случай, когда эксперты произво­дят оценку множества объектов методом ранжирования так, что величины есть ранги. Обработка результа­тов ранжирования заключается в построении обобщен­ной ранжировки. Для построения такой ранжировки введем конечномерное дискретное пространство ранжи­ровок и метрику в этом пространстве. Каждая ранжи­ровка множества объектов j-м экспертом есть точка Rj в пространстве ранжировок.

Ранжировку Rj можно представить в виде матрицы парных сравнений, элементы которой определим следу­ющим образом:

Очевидно, что , поскольку каждый объект эквива­лентен самому себе. Элементы матрицы || || антисим­метричны .

Если все ранжируемые объекты эквивалентны, то все элементы матрицы парных сравнений равны нулю. Та­кую матрицу будем обозначать Ro и считать, что точка в пространстве ранжировок, соответствующая матрице Rо­является началом отсчета.

Обращение порядка ранжируемых объектов приводит к транспонированию матрицы парных сравнений.

Метрика d(Ri, Rj) как расстояние между i-йи j-й ранжировками определяется единственным образом фор­муллой

,

если выполнены следующие 6 аксиом [26]:

1. d(Ri, Rj)≥0, причем равенство достигается, если ранжировки Ri и Rj тождественны;

2. d(Ri, Rj)= d(Rj, Ri);

3. d(Ri, Rh)+ d(Rh, Rj)≥ d(Ri, Rj);

причем равенство достигается, если ранжировка «лежит между» ранжировками Ri и Rj. Понятие «лежит между» означает, что суждение о некоторой паре OhOl объектов в ранжировке совпадает с суждением об этой паре либо в R_i, либо в Rj или же в Ri O_k > О _l, в R_j О _l > O_k, а в Rh O_h ∞ О _l;

4. d(R'i, R'j)= d(Ri, Rj),

где R'i получается из Ri некоторой перестановкой объ­ектов, а R'j из Rj той же самой перестановкой. Эта ак­сиома утверждает независимость расстояния от перену­мерации объектов.

5. Если две ранжировки Ri, Rj одинаковы всюду, за исключением n-элементного множества элементов, явля­ющегося одновременно сегментом обеих ранжировок, то d(R_i,Rj) можно вычислить, как если бы рассматрива­лась ранжировка только этих n-объектов. Сегментом ранжировки называется множество, дополнение которо­го непусто и все элементы этого дополнения находятся либо впереди, либо позади каждого элемента сегмента. Смысл этой аксиомы состоит в том, что если две ранжи­ровки полностью согласуются в начале и конце сегмента, а отличие состоит в упорядочении средних n-объектов, то естественно принять, что расстояние между ранжиров­ками должно равняться расстоянию, соответствующему ранжировкам средних n-объектов.

6. Минимальное расстояние равно единице.

Пространство ранжировок при двух объектах можно изобразить в виде трех точек, лежащих на одной прямой (рис.3). Расстояния между точками равны d(R1, 0)= d(R2, 0)=1, d(R1, R2)=2. При трех объектах пространство всех возможных ранжировок состоит из 13 точек. Это пространство изображено на рис.4.

Рис.4.

Используя введенную метрику, определим обобщен­ную ранжировку как такую точку, которая наилучшим образом согласуется с точками, представляющими собой ранжировки экспертов. Понятие наилучшего согласова­ния на практике чаще всего определяют как медиану и среднюю ранжировку.

Медиана есть такая точка в пространстве ранжиро­вок, сумма расстояний от которой до всех точек — ран­жировок экспертов является минимальной. В соответст­вии с определением медиана вычисляется из условия

.

Средняя ранжировка есть такая точка, сумма квад­ратов расстояний от которой до всех точек — ранжиро­вок экспертов является минимальной. Средняя ранжи­ровка определяется из условия

.

Пространство ранжировок конечно и дискретно, по­этому медиана и средняя ранжировка могут быть только какими-либо точками этого пространства. В общем слу­чае медиана и средняя ранжировка могут не совпадать ни с одной из ранжировок экспертов.

Если учитывается компетентность экспертов, то ме­диана и средняя ранжировка определяются из условий:

; .

где kj — коэффициенты компетентности экспертов.

Если ранжировка объектов производится по несколь­ким показателям, то определение медианы вначале про­изводится для каждого эксперта по всем показателям, а затем вычисляется медиана по множеству экспертов:

(i=1,2,…,m);

,

где qh – коэффициенты весов показателей.

Основным недостатком определения обобщенной ранжировки в виде медианы или средней ранжировки является трудоемкость расчетов. Естественный способ отыскания Rм или Rc в виде перебора всех точек простран­ства ранжировок неприемлем вследствие очень быстро­го роста разномерности пространства при увеличении количества объектов и, следовательно, роста трудоемко­сти вычислений. Можно свести задачу отыскания Rм или Rс к специфической задаче целочисленного программи­рования. Однако это не очень эффективно уменьшает вы­числительные трудности.

Пример. Проиллюстрируем применение понятий медианы и сред­него значения на простом примере, когда имеются три объекта (n=3) и ранжировка произведена тремя экспертами (m=3). Резуль­таты ранжировки проставлены в табл. 5.2.

ТАБЛИЦА 5.2

 

На основе этой таблицы составим матрицы парных сравнений

, , :

, , .

При n=3 пространство ранжировок может иметь 13 несовпадающих точек (рис. 4). Представим три точки R1=R2= Rз, соответствующие ранжировкам данного примера, и ближайшие к ним точки на рис. 5. Нетрудно непосредственным расчетом убедиться, что медианой яв­ляется точка R1=R2. Действительно, сумма расстояний от медианы до трех точек R1, R2, Rз равна d(R1, R_M)+d(R₂, R_M)+d(Rз, Rм) = 0+0+2=2. Если выбрать медиану в любой другой точке, то сумма расстояний будет больше 2. Например, если выбрать в качестве ме­дианы точку А, соответствующую ранжировке О1 ∞ О2 >О3, то сум­ма расстояний равна d(R₁, A)+d(R₂, А)+d(R₃, A) = 1 + 1 + 1=3. Таким образом, медианой является точка R1 = R₂ или, иными словами, в качестве обобщенной ранжировки следует выбрать ранжировку, вы­полненную первым или вторым экспертом. В данном случае обоб­щенная ранжировка определена по правилу большинства голосов.

Рассмотрим, какая ранжировка будет соответствовать среднему значению. Непосредственным расчетом нетрудно убедиться, что среднее значение соответствует точке А. действительно, сумма квадратов расстояний от точки А до точек R1, R2, R3 равна d²(R1, А)+ d²(R2, А)+ d²(R3, А)=1² + 1² + 1² = 3. Если взять в качестве среднего значения медиану (точка R1 = R₂), то сумма квадратов равна d²(R1, RМ)+ d²(R2, RМ)+ d²(R3, RМ)=0² + 0² + 2² = 4.

Эта величина больше, чем в предыдущем случае. Таким образом, построение обобщенной ранжировки по среднему значению дает ранжировку О1 ∞ О2 >О3. Эта ранжировка не совпадает ни с одной из ранжировок R1, R2, Rз, выполненных экспертами. Ранжировку О1 ∞ О2 >О3 можно интерпретировать как эквивалентность первого и второго объектов и их предпочтительность перед третьим объектом.

Обобщенные ранжировки по критериям медианы и среднего зна­чения согласуются в отношении О₃ — он на последнем месте, что соответствует оценкам всех трех экспертов. В отношении объектов О1, О₂ критерии медианы и среднего значения дают разногласие. Критерий медианы утверждает, что нужно следовать правилу боль­шинства, тогда как критерий среднего значения решает, что это не­убедительно и необходимо считать эти объекты равноценными. С практической точки зрения оба эти результата являются прием­лемыми.

Рассмотрим случай, когда все три эксперта дают различные ран­жировки R1=(O1 > О₂ > О₃), R2 =(О₂> O₃>O1), Rз =(Оз> O1 > О₂). Анализируя расположение этих точек на рис. 5, нетрудно опреде­лить, что медианой будет не одна, а три точки, совпадающие с точ­ками R1, R2, Rз. Сумма расстояний от медиан до точек R1, R2, Rз одинакова и равна d(R1, RМ)+ d(R2, RМ)+ d(R3, RМ)=8. Средним значением будет одна центральная точка Rc= (O1 ∞ О₂ ∞ О₃). Сумма квадратов расстояний от среднего значения до точек R1, R2, Rз равна d²(R1, Rс)+ d²(R2, Rс)+ d²(R3, Rс)=3² + 3² + 3² = 27.

Рис.5.

Таким образом, критерий медианы утверждает в данном случае, что в качестве обобщенной ранжировки можно принять любую ран­жировку экспертов. Критерий среднего значения решает, что все объекты равноценны. С практической точки зрения представляется, что критерий среднего значения дает более приемлемые результаты.

 

Расхождение обобщенных ранжировок при различ­ных критериях возникает при малом числе экспертов и несогласованности их оценок. Если мнения экспертов близки, то обобщенные ранжировки, построенные по критериям медианы и среднего значения, будут совпа­дать.

Сложность вычисления медианы или средней ран­жировки привела к необходимости применения более простых способов построения обобщенной ранжировки.

К числу таких способов относится способ сумм рангов.

Этот способ заключается в ранжировании объектов по величинам сумм рангов, полученных каждым объек­том от всех экспертов. Для матрицы ранжировок составляются суммы

(i=1,2,…,n).

Далее объекты упорядочиваются по цепочке неравенств .

Пример. Результаты ранжировки пяти объектов пятью экспер­тами представлены в табл. 5.3.

 

ТАБЛИЦА 5.3

 

Результаты вычисления сумм рангов для всех объектов приве­дены в последней строке таблицы. Из сравнения сумм рангов полу­чаем цепочку неравенств

Отсюда следует обобщенная ранжировка

.

В данном примере рассмотрен случай, когда отношение между объектами является отношением строгого порядка. Если имеет место и отношение эквивалентности, то процедура построения обоб­щенной ранжировки по сумме рангов не изменяется.

Для учета компетентности экспертов достаточно умножить каждую i-ю ранжировку на коэффициент ком­петентности j-го эксперта . В этом случае вы­числение суммы рангов для i-го объекта производится по следующей формуле:

(i=1,2,…,n).

Обобщенная ранжировка с учетом компетентности экс­пертов строится на основе упорядочения сумм рангов для всех объектов.

Следует отметить, что построение обобщенной ранжи­ровки по суммам рангов является корректной процеду­рой, если ранги назначаются как места объектов в виде натуральных чисел 1, 2,..., п. Если назначать ранги произвольным образом, как числа в шкале порядка, то сумма рангов, вообще говоря, не сохраняет условие мо­нотонности преобразования и, следовательно, можно по­лучать различные обобщенные ранжировки при различ­ных отображениях объектов на числовую систему. Нуме­рация мест объектов может быть произведена единст­венным образом с помощью натуральных чисел. Поэтому при хорошей согласованности экспертов построение обобщенной ранжировки по методу сумм рангов дает результаты, согласующиеся с результатами вычисления медианы.

Еще одним более обоснованным в теоретическом от­ношении подходом к построению обобщенной ранжиров­ки является переход от матрицы ранжировок к матрице парных сравнений и вычисление собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу этой матрицы. Упорядочение объектов производится по величине компонент собственного вектора. Изложение этого подхода дается в параграфе 5.4.

§ 5.3. Оценка согласованности мнений экспертов

При ранжировании объектов эксперты обычно расходят­ся в мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степе­ни согласия экспертов. Получение количественной ме­ры согласованности мнений экспертов позволяет более обоснованно интерпретировать причины в расхождении мнений.

В настоящее время известны две меры согласованно­сти мнений группы экспертов: дисперсионный и энтро­пийный коэффициенты конкордации.

Дисперсионный коэффициент конкордации [45]. Рас­смотрим матрицу результатов ранжировки п объектов группой из m экспертов (j = 1,...,m; i =1,…, п), где — ранг, присваиваемый j-м экспертом i-му объекту. Составим суммы рангов по каждому столбцу. В резуль­тате получим вектор с компонентами

(i=1,2,…,n). (5.14)

Величины рассмотрим как реализации случайной величины и найдем оценку дисперсии. Как известно, оп­тимальная по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценка дисперсии определяется формулой [17]:

, (5.15)

где - оценка математического ожидания, равная

. (5.16)

Дисперсионный коэффициент конкордации определя­ется как отношение оценки дисперсии (5.15) к макси­мальному значению этой оценки

. (5.17)

Коэффициент конкордации изменяется от нуля до еди­ницы, поскольку .

Вычислим максимальное значение оценки дисперсии для случая отсутствия связанных рангов (все объекты различны). Предварительно покажем, что оценка мате­матического ожидания зависит только от числа объек­тов и количества экспертов. Подставляя в (5.16) зна­чение из (5.14), получаем

(5.18)

Рассмотрим вначале суммированные по i при фиксиро­ванном j. Это есть сумма рангов для j-го эксперта. По­скольку эксперт использует для ранжировки натураль­ные числа от 1 до п, то, как известно, сумма натураль­ных чисел от 1 до п равна

(5.19)

Подставляя (5.19) в (5.18), получаем

. (5.20)

Таким образом, среднее значение зависит только от числа экспертов m и числа объектов п.

Для вычисления максимального значения оценки дис­персии подставим в (5.15) значение из (5.14) и воз­ведем в квадрат двучлен в круглой скобке. В результате получаем

. (5.21)

Учитывая, что из (5.18) следует

,

получаем

. (5.22)

Максимальное значение дисперсии достигается при наибольшем значении первого члена в квадратных скоб­ках. Величина этого члена существенно зависит от рас­положения рангов — натуральных чисел в каждой стро­ке i. Пусть, например, все т экспертов дали одинаковую ранжировку для всех п объектов. Тогда в каждой строке матрицы будут расположены одинаковые числа. Следовательно, суммирование рангов в каждой i-й стро­ке дает m-кратное повторение i-го числа:

.

Возводя в квадрат и суммируя по i, получаем значение первого члена в (5.22):

. (5.23)

Теперь предположим, что эксперты дают несовпадающие ранжировки, например, для случая п = т все эксперты присваивают разные ранги одному объекту. Тогда

.

Сравнивая это выражение с при т = п, убеждаемся, что первый член в квадратных скобках формулы (9) ра­вен второму члену и, следовательно, оценка дисперсии равна нулю.

Таким образом, случай полного совпадения ранжиро­вок экспертов соответствует максимальному значениютоценки дисперсии. Подставляя (5.23) в (5.22) и выпол­няя преобразования, получаем

. (5.24)

Введем обозначение

. (5.25)

Используя (5.25), запишем оценку дисперсии (5.15) в виде

. (5.26)

Подставляя (5.24), (5.25), (5.26) в (5.17) и сокращая на множитель (п —1), запишем окончательное выражение для коэффициента конкордации

. (5.27)

Данная формула определяет коэффициент конкордации для случая отсутствия связанных рангов.

Если в ранжировках имеются связанные ранги, то максимальное значение дисперсии в знаменателе форму­лы (5.17) становится меньше, чем при отсутствии связанных рангов. Можно показать, что при наличии связанных рангов коэффициент конкордации вычисляется по формуле [21]:

, (5.28)

где

. (5.29)

В формуле (5.28) - показатель связанных рангов в j-й ранжировке, - число групп равных рангов в j-й ранжировке, - число равных рангов в k-й группе связанных рангов при ранжировке j-м экспертом. Если совпадающих рангов нет, то =0,

---

Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 6049. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!

---

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Понятие о синдроме нарушения бронхиальной проходимости и его клинические проявления Синдром нарушения бронхиальной проходимости (бронхообструктивный синдром) – это патологическое состояние... Опухоли яичников в детском и подростковом возрасте Опухоли яичников занимают первое место в структуре опухолей половой системы у девочек и встречаются в возрасте 10 – 16 лет и в период полового созревания... Способы тактических действий при проведении специальных операций Специальные операции проводятся с применением следующих основных тактических способов действий: охрана...

Неисправности автосцепки, с которыми запрещается постановка вагонов в поезд. Причины саморасцепов ЗАПРЕЩАЕТСЯ: постановка в поезда и следование в них вагонов, у которых автосцепное устройство имеет хотя бы одну из следующих неисправностей: - трещину в корпусе автосцепки, излом деталей механизма... Понятие метода в психологии. Классификация методов психологии и их характеристика Метод – это путь, способ познания, посредством которого познается предмет науки (С... ЛЕКАРСТВЕННЫЕ ФОРМЫ ДЛЯ ИНЪЕКЦИЙ К лекарственным формам для инъекций относятся водные, спиртовые и масляные растворы, суспензии, эмульсии, ново­галеновые препараты, жидкие органопрепараты и жидкие экс­тракты, а также порошки и таблетки для имплантации...