Студопедия — ОБРАБОТКА ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

ОБРАБОТКА ЭКСПЕРТНЫХ ОЦЕНОК






 

§ 5.1. Задачи обработки

 

После проведения опроса группы экспертов осуществля­ется обработка результатов. Исходной информацией для обработки являются числовые данные, выражающие предпочтения экспертов, и содержательное обоснование этих предпочтений. Целью обработки является получе­ние обобщенных данных и новой информации, содержа­щейся в скрытой форме в экспертных оценках. На осно­ве результатов обработки формируется решение проб­лемы.

Наличие как числовых данных, так и содержательных высказываний экспертов приводит к необходимости при­менения качественных и количественных методов обра­ботки результатов группового экспертного оценивания. Удельный вес этих методов существенно зависит от клас­са проблем, решаемых экспертным оцениванием.

Как отмечалось в первой главе, все множество проб­лем можно разделить на два класса. К первому классу относятся проблемы, для решения которых имеется до­статочный уровень знании и опыта, т. е. имеется необ­ходимый информационный потенциал. При решении про­блем, относящихся к этому классу, эксперты рассмат­риваются как хорошие в среднем измерители. Под тер­мином «хорошие в среднем» понимается возможность получения результатов измерения, близких к истинным.

Для множества экспертов их суждения группируются вблизи истинного значения. Отсюда следует, что для об­работки результатов группового экспертного оценивания проблем первого класса можно успешно применять ме­тоды математической статистики, основанные на осред­нении данных.

Ко второму классу относятся проблемы, для решения которых еще не накоплен достаточный информационный потенциал. В связи с этим суждения экспертов могут очень сильно различаться друг от друга. Более того, суждение одного эксперта, сильно отличающееся от остальных мнений, может оказаться истинным. Очевид­но, что применение методов осреднения результатов групповой экспертной оценки при решении проблем вто­рого класса может привести к большим ошибкам. По­этому обработка результатов опроса экспертов в этом случае должна базироваться на методах, не использую­щих принципы осреднения, а на методах качественного анализа.

Учитывая, что проблемы первого класса являются наиболее распространенными в практике экспертного оценивания, основное, внимание в этой главе уделяется методам обработки результатов экспертизы для этого класса проблем.

В зависимости от целей экспертного оценивания и выбранного метода измерения при обработке результа­том опроса возникают следующие основные задачи:

построение обобщенной оценки объектов па основе индивидуальных оценок экспертов;

построение обобщенной оценки на основе парного сравнения объектов каждым экспертом;

определение относительных весов объектов;

определение согласованности мнений экспертов;

определение зависимостей между ранжировками;

оценка надежности результатов обработки.

Задача построения обобщенной оценки объектов по индивидуальным оценкам экспертов возникает при груп­повом экспертном оценивании. Решение этой задачи за­висит от использованного экспертами метода измерения.

При решении многих задач недостаточно осуществить упорядочение объектов по одному показателю или неко­торой совокупности показателей. Желательно иметь чис­ленные значения для каждого объекта, определяющие относительную его важность по сравнению с другими объектами. Иными славами, для многих задач необхо­димо иметь оценки объектов, которые не только осуще­ствляют их упорядочение, но и позволяют определять степень предпочтительности одного объекта перед дру­гим. Для решения этой задачи можно непосредственно применить метод непосредственной оценки (см. пара­граф 2.3). Однако эту же задачу при определенных усло­виях можно решить путем обработки оценок экспертом.

Определение согласованности мнении экспертов про­изводится путем вычисления числовой меры, характери­зующей степень близости индивидуальных мнений. Ана­лиз значения меры согласованности способствует выра­ботке правильного суждения об общем уровне знаний по решаемой проблеме и выявлению группировок мне­ний экспертов. Качественный анализ причин группиров­ки мнений позволяет установить существование различ­ных взглядов, концепций, выявить научные школы, опре­делить характер профессиональной деятельности и т. п. Все эти факторы дают возможность более глубоко осмыслить результаты опроса экспертов.

Обработкой результатов экспертного оценивания можно определять зависимости между ранжировками различных экспертов и тем самым устанавливать един­ство и различие в мнениях экспертов. Важную роль иг­рает также установление зависимости между ранжиров­ками, построенными по различным показателям сравне­ния объектов. Выявление таких зависимостей позволяет вскрыть связанные показатели сравнения и, может быть, осуществить их группировку по степени связи. Важность задачи определения зависимостей для практики очевид­на. Например, если показателями сравнения являются различные цели, а объектами — средства достижения це­лей, то установление взаимосвязи между ранжировка­ми, упорядочивающими средства с точки зрения дости­жения целей, позволяет обоснованно ответить на вопрос, в какой степени достижение одной цели при данных средствах способствует достижению других целей.

Оценки, получаемые на основе обработки, представ­ляют собой случайные объекты, поэтому одной из важ­ных задач процедуры обработки является определение их надежности. Решению этой задачи должно уделяться соответствующее внимание.

Обработка результатов экспертизы представляет со­бой трудоемкий процесс. Выполнение операций вычисления оценок и показателей их надежности вручную свя­зано с большими трудовыми затратами даже в случае решения простых задач упорядочения. В связи с этим целесообразно использовать вычислительную технику и особенно ЭВМ. Применение ЭВМ выдвигает проблему разработки машинных программ, реализующих алгорит­мы обработки результатов экспертного оценивания.

§ 5.2. Групповая оценка объектов

В данном параграфе рассматриваются алгоритмы обра­ботки результатов экспертного оценивания множества объектов. Пусть m экспертов произвели оценку п объек­тов по l показателям. Результаты оценки представлены в виде величин , где j —номер эксперта, i — номер объекта, h — номер показателя (признака) сравнения. Если оценка объектов произведена методом ранжирова­ния, то величины представляют собой ранги. Если оценка объектов выполнена методом непосредственной оценки или методом последовательного сравнения, то величины представляют собой числа из некоторого отрезка числовой оси, или баллы. Обработка результа­тов оценки существенно зависит от рассмотренных мето­дов измерения.

Рассмотрим вначале случай, когда величины (i = 1,…, п; j=1, 2,..., m; h=1, 2,..., l) получены мето­дами непосредственной оценки или последовательного
сравнения, т. е. являются числами, или баллами. Для получения групповой оценки объектов в этом случае можно воспользоваться средним значением оценки для
каждого объекта

(i=1, 2, …, n), (5.1)

где — коэффициенты весов показателей сравнения объектов, kj — коэффициенты компетентности экспертов. Коэффициенты весов показателей и компетентности объ­ектов являются нормированными величинами

(5.2)

Коэффициенты весов показателем могут быть опреде­лены экспертным путем. Если — коэффициент веса h-го показателя, даваемый j-м экспертом, то средний ко­эффициент веса h- гопоказателя по всем экспертам ра­вен

(5.3)

Получение групповой экспертной оценки путем сум­мирования индивидуальных оценок с весами компетент­ности и важности показателей при измерении свойств объектов в кардинальных шкалах основывается на пред­положении о выполнении аксиом теории полезности фон Неймана — Моргенштерна как для индивидуальных, так и для групповой оценки [39] и условий неразличимости объектов в групповом отношении, если они неразличимы во всех индивидуальных оценках (частичный принцип Парето) [31]. В реальных задачах эти условия, как пра­вило, выполняются, поэтому получение групповой оцен­ки объектов путем суммирования с весами индивидуаль­ных оценок экспертов широко применяется на практике.

Коэффициенты компетентности экспертов можно вы­числить по апостериорным данным, т. е. по результатам оценки объектов. Основной идеей этого вычисления яв­ляется предположение о том, что компетентность экспер­тов должна оцениваться по степени согласованности их оценок с групповой оценкой объектов.

Алгоритм вычисления коэффициентов компетентно­сти экспертов имеет вид рекуррентной процедуры:

; (5.4)

; (5.5)

. (5.6)

Вычисления начинаются с t=1. В формуле (5.4) началь­ные значения коэффициентов компетентности принима­ются одинаковыми и равными kj°=1/m. Тогда по формуле (5.4) групповые оценки объектов первого приближе­нии равны средним арифметическим значениям оценок экспертов

. (5.7)

Далее вычисляется величина λ¹ по формуле (5.5):

(5.8)

и значение коэффициентов компетентности первого приближения по формуле (5.6):

(5.9)

Используя коэффициенты компетентности первого приближения, можно повторить весь процесс вычисле­ния по формулам (5.4), (5.5), (5.6) и получить вторые приближения величин .

Повторение рекуррентной процедуры вычислений оце­нок объектов и коэффициентов компетентности естест­венно ставит вопрос о ее сходимости. Для рассмотрения этого вопроса исключим из уравнений (5.4), (5.6) пере­менные и и представим эти уравнения в векторной форме

, (5.10)

где матрицы В размерности n∙n и С размерности m∙m равны

. (5.11)

Величина в уравнениях (5.10) определяется по формуле (5.5).

Если матрицы В и С неотрицательны и неразложимы, то как это следует из теоремы Перрона-Фробениуса [33], при t→∞ векторы и сходятся к собственным векторам матриц В и С, соответствующим максимальным собственным числам этих матриц

, . (5.12)

Предельные значения векторов x и k можно вычислить из уравнений:

(5.13)

где , — максимальные собственные числа матриц В и С.

Условие неотрицательности матриц В и С легко вы­полняется выбором неотрицательных элементов мат­рицы X оценок объектов экспертами.

Условие неразложимости матриц В и С практически выполняется, поскольку, если эти матрицы разложимы, то это означает, что эксперты и объекты распадаются на независимые группы. При этом каждая группа экс­пертов оценивает только объекты своей группы. Естест­венно, что получать групповую оценку в этом случае нет смысла. Таким образом, условия неотрицательности и неразложимости матриц В и С, а следовательно, и условия сходимости процедур (5.4), (5.5), (5.6) в практи­ческих условиях выполняются.

Следует заметить, что практическое вычисление век­торов групповой оценки объектов и коэффициентов ком­петентности проще выполнять по рекуррентным форму­лам (5.4), (5.5), (5.6). Определение предельных значе­ний этих векторов по уравнению (5.13) требует примене­ния вычислительной техники.

Пример. Три эксперта (m = 3) оценили значение двух мероприя­тий (n=2) по решению одной проблемы (l =1), приведя нормированные оценки мероприятий (табл. 5.1).

Проведем вычисление групповых оценок мероприятий и коэффи­циентов компетентности экспертов по формулам (5.4), (5.5), (5.6). Средние оценки объектов первого приближения по формуле (5.4) при t=1 равны

.

Эксперт Мероприятие Э1 Э2 Э3
М1 0,3 0,5 0,2
М2 0,7 0,5 0,8

 

Вычислим величину λ¹ по формуле (5.5). В результате имеем

λ¹=1∙0,335+2∙0,665=1,665.

Вычисляем коэффициенты компетентности первого приближения по формуле (5.6):

;

;

.

Вычисляя групповые оценки объектов второго приближения, получаем вектор x²=(0.324; 0.676). Величина λ²=1,676. Вектор коэффициентов компетентности второго приближения равен k²=(0,341; 0,298; 0,361). Для третьего приближения получаем x³=(0,3233; 0,6765), λ³=1,6765, k³=(0,341; 0,298; 0,361). Как следует из результатов третьего приближения, вектор коэффициентов компетентности стабилизировался. Поэтому дальнейшие вычисления не дадут существенного уточнения.

Рассмотрим теперь вычисление предельных значений векторов групповой оценки и коэффициентов компетентности по уравнениям (5.13). Вычисляя матрицу В=ХХ’, получаем

.

Максимальное собственное число матрицы В определяется как максимальный корень уравнения

|В-λE |=0,

где Е – единичная матрица. Записывая в явном виде определитель, получаем

.

Раскрывая определитель, получаем квадратное уравнение

λ² - 1,76λ + 0,14 = 0.

Максимальный корень этого yравнения ранен λo=l,676. Сравнивая это значение со вторым и третьим приближением λ², λ³, убеждаемся в том, что они близки. Вектор групповых оценок вычисляется путем решения системы уравнений

.

Решая эту систему yравнений, получаем =0,3235, =0,6765, что соответствует результатамрекуррентных вычислений третьего при­ближения.

Вычисляя матрицу С = Х'Х, получаем

.

Составляя уравнение |С — XE|=0 и раскрывая определитель, полу­чаем уравнение

λ(λ²-1,76λ+0,14)=0.

Отсюда следует, что максимальное собственное число для матрицы С совпадает с максимальным собственным числом матрицы В: λо=1,676.

Система уравнений для определения предельных коэффициентов компетентности имеет вид

.

Решая эту систему уравнений, получаем =0,34077, =0,298, =0,36123. Эти значения близки к третьему приближению коэффициентов компетентности.

Рассмотрим теперь случай, когда эксперты произво­дят оценку множества объектов методом ранжирования так, что величины есть ранги. Обработка результа­тов ранжирования заключается в построении обобщен­ной ранжировки. Для построения такой ранжировки введем конечномерное дискретное пространство ранжи­ровок и метрику в этом пространстве. Каждая ранжи­ровка множества объектов j-м экспертом есть точка Rj в пространстве ранжировок.

Ранжировку Rj можно представить в виде матрицы парных сравнений, элементы которой определим следу­ющим образом:

Очевидно, что , поскольку каждый объект эквива­лентен самому себе. Элементы матрицы || || антисим­метричны .

Если все ранжируемые объекты эквивалентны, то все элементы матрицы парных сравнений равны нулю. Та­кую матрицу будем обозначать Ro и считать, что точка в пространстве ранжировок, соответствующая матрице Rо­является началом отсчета.

Обращение порядка ранжируемых объектов приводит к транспонированию матрицы парных сравнений.

Метрика d(Ri, Rj) как расстояние между i-йи j-й ранжировками определяется единственным образом фор­муллой

,

если выполнены следующие 6 аксиом [26]:

1. d(Ri, Rj)≥0, причем равенство достигается, если ранжировки Ri и Rj тождественны;

2. d(Ri, Rj)= d(Rj, Ri);

3. d(Ri, Rh)+ d(Rh, Rj)≥ d(Ri, Rj);

причем равенство достигается, если ранжировка «лежит между» ранжировками Ri и Rj. Понятие «лежит между» означает, что суждение о некоторой паре OhOl объектов в ранжировке совпадает с суждением об этой паре либо в Ri, либо в Rj или же в Ri Ok > О l, в Rj О l > Ok, а в Rh Oh ∞ О l;

4. d(R'i, R'j)= d(Ri, Rj),

где R'i получается из Ri некоторой перестановкой объ­ектов, а R'j из Rj той же самой перестановкой. Эта ак­сиома утверждает независимость расстояния от перену­мерации объектов.

5. Если две ранжировки Ri, Rj одинаковы всюду, за исключением n-элементного множества элементов, явля­ющегося одновременно сегментом обеих ранжировок, то d(Ri,Rj) можно вычислить, как если бы рассматрива­лась ранжировка только этих n-объектов. Сегментом ранжировки называется множество, дополнение которо­го непусто и все элементы этого дополнения находятся либо впереди, либо позади каждого элемента сегмента. Смысл этой аксиомы состоит в том, что если две ранжи­ровки полностью согласуются в начале и конце сегмента, а отличие состоит в упорядочении средних n-объектов, то естественно принять, что расстояние между ранжиров­ками должно равняться расстоянию, соответствующему ранжировкам средних n-объектов.

6. Минимальное расстояние равно единице.

Пространство ранжировок при двух объектах можно изобразить в виде трех точек, лежащих на одной прямой (рис.3). Расстояния между точками равны d(R1, 0)= d(R2, 0)=1, d(R1, R2)=2. При трех объектах пространство всех возможных ранжировок состоит из 13 точек. Это пространство изображено на рис.4.

Рис.4.

Используя введенную метрику, определим обобщен­ную ранжировку как такую точку, которая наилучшим образом согласуется с точками, представляющими собой ранжировки экспертов. Понятие наилучшего согласова­ния на практике чаще всего определяют как медиану и среднюю ранжировку.

Медиана есть такая точка в пространстве ранжиро­вок, сумма расстояний от которой до всех точек — ран­жировок экспертов является минимальной. В соответст­вии с определением медиана вычисляется из условия

.

Средняя ранжировка есть такая точка, сумма квад­ратов расстояний от которой до всех точек — ранжиро­вок экспертов является минимальной. Средняя ранжи­ровка определяется из условия

.

Пространство ранжировок конечно и дискретно, по­этому медиана и средняя ранжировка могут быть только какими-либо точками этого пространства. В общем слу­чае медиана и средняя ранжировка могут не совпадать ни с одной из ранжировок экспертов.

Если учитывается компетентность экспертов, то ме­диана и средняя ранжировка определяются из условий:

; .

где kj — коэффициенты компетентности экспертов.

Если ранжировка объектов производится по несколь­ким показателям, то определение медианы вначале про­изводится для каждого эксперта по всем показателям, а затем вычисляется медиана по множеству экспертов:

(i=1,2,…,m);

,

где qh – коэффициенты весов показателей.

Основным недостатком определения обобщенной ранжировки в виде медианы или средней ранжировки является трудоемкость расчетов. Естественный способ отыскания Rм или Rc в виде перебора всех точек простран­ства ранжировок неприемлем вследствие очень быстро­го роста разномерности пространства при увеличении количества объектов и, следовательно, роста трудоемко­сти вычислений. Можно свести задачу отыскания Rм или Rс к специфической задаче целочисленного программи­рования. Однако это не очень эффективно уменьшает вы­числительные трудности.

Пример. Проиллюстрируем применение понятий медианы и сред­него значения на простом примере, когда имеются три объекта (n=3) и ранжировка произведена тремя экспертами (m=3). Резуль­таты ранжировки проставлены в табл. 5.2.

ТАБЛИЦА 5.2

     
     
     

 

На основе этой таблицы составим матрицы парных сравнений

, , :

, , .

При n=3 пространство ранжировок может иметь 13 несовпадающих точек (рис. 4). Представим три точки R1=R2= Rз, соответствующие ранжировкам данного примера, и ближайшие к ним точки на рис. 5. Нетрудно непосредственным расчетом убедиться, что медианой яв­ляется точка R1=R2. Действительно, сумма расстояний от медианы до трех точек R1, R2, Rз равна d(R1, RM)+d(R2, RM)+d(Rз, Rм) = 0+0+2=2. Если выбрать медиану в любой другой точке, то сумма расстояний будет больше 2. Например, если выбрать в качестве ме­дианы точку А, соответствующую ранжировке О1 ∞ О2 >О3, то сум­ма расстояний равна d(R1, A)+d(R2, А)+d(R3, A) = 1 + 1 + 1=3. Таким образом, медианой является точка R1 = R2 или, иными словами, в качестве обобщенной ранжировки следует выбрать ранжировку, вы­полненную первым или вторым экспертом. В данном случае обоб­щенная ранжировка определена по правилу большинства голосов.

Рассмотрим, какая ранжировка будет соответствовать среднему значению. Непосредственным расчетом нетрудно убедиться, что среднее значение соответствует точке А. действительно, сумма квадратов расстояний от точки А до точек R1, R2, R3 равна d²(R1, А)+ d²(R2, А)+ d²(R3, А)=1² + 1² + 1² = 3. Если взять в качестве среднего значения медиану (точка R1 = R2), то сумма квадратов равна d²(R1, RМ)+ d²(R2, RМ)+ d²(R3, RМ)=0² + 0² + 2² = 4.

Эта величина больше, чем в предыдущем случае. Таким образом, построение обобщенной ранжировки по среднему значению дает ранжировку О1 ∞ О2 >О3. Эта ранжировка не совпадает ни с одной из ранжировок R1, R2, Rз, выполненных экспертами. Ранжировку О1 ∞ О2 >О3 можно интерпретировать как эквивалентность первого и второго объектов и их предпочтительность перед третьим объектом.

Обобщенные ранжировки по критериям медианы и среднего зна­чения согласуются в отношении О3 — он на последнем месте, что соответствует оценкам всех трех экспертов. В отношении объектов О1, О2 критерии медианы и среднего значения дают разногласие. Критерий медианы утверждает, что нужно следовать правилу боль­шинства, тогда как критерий среднего значения решает, что это не­убедительно и необходимо считать эти объекты равноценными. С практической точки зрения оба эти результата являются прием­лемыми.

Рассмотрим случай, когда все три эксперта дают различные ран­жировки R1=(O1 > О2 > О3), R2 =(О2> O3>O1), =(Оз> O1 > О2). Анализируя расположение этих точек на рис. 5, нетрудно опреде­лить, что медианой будет не одна, а три точки, совпадающие с точ­ками R1, R2, Rз. Сумма расстояний от медиан до точек R1, R2, Rз одинакова и равна d(R1, RМ)+ d(R2, RМ)+ d(R3, RМ)=8. Средним значением будет одна центральная точка Rc= (O1 ∞ О2 ∞ О3). Сумма квадратов расстояний от среднего значения до точек R1, R2, Rз равна d²(R1, Rс)+ d²(R2, Rс)+ d²(R3, Rс)=3² + 3² + 3² = 27.

Рис.5.

Таким образом, критерий медианы утверждает в данном случае, что в качестве обобщенной ранжировки можно принять любую ран­жировку экспертов. Критерий среднего значения решает, что все объекты равноценны. С практической точки зрения представляется, что критерий среднего значения дает более приемлемые результаты.

 

Расхождение обобщенных ранжировок при различ­ных критериях возникает при малом числе экспертов и несогласованности их оценок. Если мнения экспертов близки, то обобщенные ранжировки, построенные по критериям медианы и среднего значения, будут совпа­дать.

Сложность вычисления медианы или средней ран­жировки привела к необходимости применения более простых способов построения обобщенной ранжировки.

К числу таких способов относится способ сумм рангов.

Этот способ заключается в ранжировании объектов по величинам сумм рангов, полученных каждым объек­том от всех экспертов. Для матрицы ранжировок составляются суммы

(i=1,2,…,n).

Далее объекты упорядочиваются по цепочке неравенств .

Пример. Результаты ранжировки пяти объектов пятью экспер­тами представлены в табл. 5.3.

 

ТАБЛИЦА 5.3

         
         
         
         
         
         

 

Результаты вычисления сумм рангов для всех объектов приве­дены в последней строке таблицы. Из сравнения сумм рангов полу­чаем цепочку неравенств

Отсюда следует обобщенная ранжировка

.

В данном примере рассмотрен случай, когда отношение между объектами является отношением строгого порядка. Если имеет место и отношение эквивалентности, то процедура построения обоб­щенной ранжировки по сумме рангов не изменяется.

Для учета компетентности экспертов достаточно умножить каждую i-ю ранжировку на коэффициент ком­петентности j-го эксперта . В этом случае вы­числение суммы рангов для i-го объекта производится по следующей формуле:

(i=1,2,…,n).

Обобщенная ранжировка с учетом компетентности экс­пертов строится на основе упорядочения сумм рангов для всех объектов.

Следует отметить, что построение обобщенной ранжи­ровки по суммам рангов является корректной процеду­рой, если ранги назначаются как места объектов в виде натуральных чисел 1, 2,..., п. Если назначать ранги произвольным образом, как числа в шкале порядка, то сумма рангов, вообще говоря, не сохраняет условие мо­нотонности преобразования и, следовательно, можно по­лучать различные обобщенные ранжировки при различ­ных отображениях объектов на числовую систему. Нуме­рация мест объектов может быть произведена единст­венным образом с помощью натуральных чисел. Поэтому при хорошей согласованности экспертов построение обобщенной ранжировки по методу сумм рангов дает результаты, согласующиеся с результатами вычисления медианы.

Еще одним более обоснованным в теоретическом от­ношении подходом к построению обобщенной ранжиров­ки является переход от матрицы ранжировок к матрице парных сравнений и вычисление собственного вектора, соответствующего максимальному собственному числу этой матрицы. Упорядочение объектов производится по величине компонент собственного вектора. Изложение этого подхода дается в параграфе 5.4.

§ 5.3. Оценка согласованности мнений экспертов

При ранжировании объектов эксперты обычно расходят­ся в мнениях по решаемой проблеме. В связи с этим возникает необходимость количественной оценки степе­ни согласия экспертов. Получение количественной ме­ры согласованности мнений экспертов позволяет более обоснованно интерпретировать причины в расхождении мнений.

В настоящее время известны две меры согласованно­сти мнений группы экспертов: дисперсионный и энтро­пийный коэффициенты конкордации.

Дисперсионный коэффициент конкордации [45]. Рас­смотрим матрицу результатов ранжировки п объектов группой из m экспертов (j = 1,...,m; i =1,…, п), где — ранг, присваиваемый j-м экспертом i-му объекту. Составим суммы рангов по каждому столбцу. В резуль­тате получим вектор с компонентами

(i=1,2,…,n). (5.14)

Величины рассмотрим как реализации случайной величины и найдем оценку дисперсии. Как известно, оп­тимальная по критерию минимума среднего квадрата ошибки оценка дисперсии определяется формулой [17]:

, (5.15)

где - оценка математического ожидания, равная

. (5.16)

Дисперсионный коэффициент конкордации определя­ется как отношение оценки дисперсии (5.15) к макси­мальному значению этой оценки

. (5.17)

Коэффициент конкордации изменяется от нуля до еди­ницы, поскольку .

Вычислим максимальное значение оценки дисперсии для случая отсутствия связанных рангов (все объекты различны). Предварительно покажем, что оценка мате­матического ожидания зависит только от числа объек­тов и количества экспертов. Подставляя в (5.16) зна­чение из (5.14), получаем

(5.18)

Рассмотрим вначале суммированные по i при фиксиро­ванном j. Это есть сумма рангов для j-го эксперта. По­скольку эксперт использует для ранжировки натураль­ные числа от 1 до п, то, как известно, сумма натураль­ных чисел от 1 до п равна

(5.19)

Подставляя (5.19) в (5.18), получаем

. (5.20)

Таким образом, среднее значение зависит только от числа экспертов m и числа объектов п.

Для вычисления максимального значения оценки дис­персии подставим в (5.15) значение из (5.14) и воз­ведем в квадрат двучлен в круглой скобке. В результате получаем

. (5.21)

Учитывая, что из (5.18) следует

,

получаем

. (5.22)

Максимальное значение дисперсии достигается при наибольшем значении первого члена в квадратных скоб­ках. Величина этого члена существенно зависит от рас­положения рангов — натуральных чисел в каждой стро­ке i. Пусть, например, все т экспертов дали одинаковую ранжировку для всех п объектов. Тогда в каждой строке матрицы будут расположены одинаковые числа. Следовательно, суммирование рангов в каждой i-й стро­ке дает m-кратное повторение i-го числа:

.

Возводя в квадрат и суммируя по i, получаем значение первого члена в (5.22):

. (5.23)

Теперь предположим, что эксперты дают несовпадающие ранжировки, например, для случая п = т все эксперты присваивают разные ранги одному объекту. Тогда

.

Сравнивая это выражение с при т = п, убеждаемся, что первый член в квадратных скобках формулы (9) ра­вен второму члену и, следовательно, оценка дисперсии равна нулю.

Таким образом, случай полного совпадения ранжиро­вок экспертов соответствует максимальному значениютоценки дисперсии. Подставляя (5.23) в (5.22) и выпол­няя преобразования, получаем

. (5.24)

Введем обозначение

. (5.25)

Используя (5.25), запишем оценку дисперсии (5.15) в виде

. (5.26)

Подставляя (5.24), (5.25), (5.26) в (5.17) и сокращая на множитель (п —1), запишем окончательное выражение для коэффициента конкордации

. (5.27)

Данная формула определяет коэффициент конкордации для случая отсутствия связанных рангов.

Если в ранжировках имеются связанные ранги, то максимальное значение дисперсии в знаменателе форму­лы (5.17) становится меньше, чем при отсутствии связанных рангов. Можно показать, что при наличии связанных рангов коэффициент конкордации вычисляется по формуле [21]:

, (5.28)

где

. (5.29)

В формуле (5.28) - показатель связанных рангов в j-й ранжировке, - число групп равных рангов в j-й ранжировке, - число равных рангов в k-й группе связанных рангов при ранжировке j-м экспертом. Если совпадающих рангов нет, то =0,





Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 6155. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...

Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...

Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...

Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Философские школы эпохи эллинизма (неоплатонизм, эпикуреизм, стоицизм, скептицизм). Эпоха эллинизма со времени походов Александра Македонского, в результате которых была образована гигантская империя от Индии на востоке до Греции и Македонии на западе...

Демографияда "Демографиялық жарылыс" дегеніміз не? Демография (грекше демос — халық) — халықтың құрылымын...

Субъективные признаки контрабанды огнестрельного оружия или его основных частей   Переходя к рассмотрению субъективной стороны контрабанды, остановимся на теоретическом понятии субъективной стороны состава преступления...

Понятие и структура педагогической техники Педагогическая техника представляет собой важнейший инструмент педагогической технологии, поскольку обеспечивает учителю и воспитателю возможность добиться гармонии между содержанием профессиональной деятельности и ее внешним проявлением...

Репродуктивное здоровье, как составляющая часть здоровья человека и общества   Репродуктивное здоровье – это состояние полного физического, умственного и социального благополучия при отсутствии заболеваний репродуктивной системы на всех этапах жизни человека...

Случайной величины Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины Х называют функцию f(x) – первую производную от функции распределения F(x): Понятие плотность распределения вероятностей случайной величины Х для дискретной величины неприменима...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия