Теоретичні відомості. (теорію до даної роботи див

(теорію до даної роботи див. також у конспекті лекцій, §§5.1-5.3)

Оборотний маятник – частковий випадок фізичного маятника. Фізичним маятником називається будь-яке тверде тіло, котре може коливатися у полі тяжіння навколо горизонтальної осі, що не проходить через його центр мас. Точка перетину О осі з вертикальною площиною, що проходить через центр мас С маятника називається точкою підвісу. При рівноважному положенні маятника точки О і С знаходяться на одній вертикалі, причому центр мас розміщений нижче точки підвісу (рис. 1). Якщо відхилити маятник на невеликий кут і відпустити його, то він буде здійснювати гармонічні коливання з періодом

, (1)

де g – прискорення вільного падіння, L – зведена довжина фізичного маятника,

. (2)

I – момент інерції маятника відносно осі обертання, що проходить через точку О, m – маса маятника, l – віддаль від осі обертання до центра мас.

Точка К, що лежить на лінії ОС і віддалена від точки О на зведену довжину L маятника, називається центром коливань. Якщо такий маятник буде здійснювати коливання відносно осі, що проходить через точку К, то період коливань буде рівний періоду коливань відносно осі, що проходить через точку O. Тому точки К і О називають спряженими. Маятник, котрий може коливатися відносно двох спряжених точок, називається оборотним.

Покажемо, що періоди коливань відносно осей, що проходять через точки К і О, однакові. Позначимо зведену довжину фізичного маятника при коливаннях відносно осі, що проходить через точку К, через . Якщо доведемо, що , то цим згідно з формулою (1) буде доведено, що періоди коливань відносно осей, котрі проходять через точки К і О, однакові.

Зведені довжини при коливаннях маятника відносно осей, що проходять через точки К і О,

, (3)

де і – моменти інерції маятника відносно відповідних осей. За теоремою Штейнера

(4)

( – момент інерції маятника відносно осі, що проходить через центр мас).

З (2) і (3) одержимо

. (5)

З рис. 1 видно, що . Підставляючи це співвідношення у (5), одержимо

. (6)

Враховуючи перше з рівнянь (4), з (6) одержимо , що і потрібно було довести.

Практично підібрати такі точки О і К, відносно яких періоди коливань маятника були б однакові, важко. Оскільки періоди коливань дещо відрізняються, то згідно з формулами (1), (3) та (4) маємо

. (7)

Виключаючи з рівнянь (7) , знайдемо

. (8)

Якщо маятник оборотний, тобто , то з (3) одержимо

. (9)

Остання формула використовується для визначення прискорення вільного падіння.