Модели линейных систем

 

1. Заварыкин В.М., Житомирский В.Г., Лапчик М.П. Численные методы. М.: Просвещение. – 1991. – 175с.

2. Ракитин В.И., Первушин В.Е. Практическое руководство по методам вычислений. М.: Высшая школа. – 1998. 384с.

3. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука. – 1987. – 248 с.

3. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука. – 1987. – 318с.

4. Копченова Н.В., Марон И.А. Вычислительная математика в примерах и задачах. М.: Наука. – 1972. – 366с.

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т.1. М.: Наука. – 1966. – 632с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. – С.П.: Физматлит. – 2001. – 630с.

7. С. Ф. Аминова, Р. М. Асадуллин. Лабораторный практикум по курсу «Численные методы».- Уфа: Изд-во БГПУ, 2003 –28с.

8. Р. Р. Сулейманов. Решение математических задач в системе MathCAD 8.1 // Учитель Башкортостана. 2002. № 2.

10. MATHCAD 6.0 PLUS/ Финансовые, инженерные и научные расчеты в среде Windows 95./ Пер. с англ. – М.: Информационно-издательский дом "Филинъ", 1996. – 712 с.

11. Плис А.И., Сливина Н.А. Mathcad: математический практикум. – М.: Финансы и Статистика. – 1999.

12. Очков В.Ф. Mathcad 8 Pro для студентов и инженеров. – М.: КомпьютерПресс, 1999.

13. Очков В.Ф.. MathCad 7 Pro для студентов и инженеров. – М.: КомпьютерПресс, 1998. – 384 с.

14. Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. – М.: CK Пресс, 1997. – 336 с.

 

 

К. Поляков

Исследование САУ с помощью среды Matlab ©, 2004-2005

Исследование САУ при случайных возмущениях с помощью среды Matlab

©, 2009

Методические указания к выполнению лабораторных работ

Лабораторная работа № 1

Исследование разомкнутой линейной системы

Цели работы

· освоение методов анализа одномерной линейной непрерывной системы с помощью среды Matlab

Задачи работы

· ввести модель системы в виде передаточной функции

· построить эквивалентные модели в пространстве состояний и в форме «нули-полюса»

· определить коэффициент усиления в установившемся режиме и полосу пропускания системы

· научиться строить импульсную и переходную характеристики, карту расположения нулей и полюсов, частотную характеристику

· научиться использовать окно LTIViewer для построения различных характеристик

· научиться строить процессы на выходе линейной системы при произвольном входном сигнале

Краткие теоретические сведения

Модели линейных систем

Для описания линейных систем могут применяться несколько способов:

· дифференциальные уравнения

· модели в пространстве состояний

· передаточные функции

· модели вида «нули-полюса»

Первые два способа называются времен ы ми, поскольку описывают поведение системы во временной области и отражают внутренние связи между сигналами. Передаточные функции и модели вида «нули-полюса» относятся к частотным способам описания, так как непосредственно связаны с частотными характеристиками системы и отражают только вход-выходные свойства (то есть, описывают динамику не полностью).

Частотные методы позволяют применять для анализа и синтеза алгебраические методы, что часто упрощает расчеты. С другой стороны, для автоматических вычислений более пригодны методы, основанные на моделях в пространстве состояний, поскольку они используют вычислительно устойчивые алгоритмы линейной алгебры.

Исходные уравнения динамики объектов, которые строятся на основе законов физики, имеют вид нелинейных дифференциальных уравнений. Для приближенного анализа и синтеза обычно проводят их линеаризацию в окрестности установившегося режима и получают линейные дифференциальные уравнения.

Линейное уравнение можно записать в операторной форме

или , где – входной сигнал, – сигнал выхода, – оператор дифференцирования, и – операторные полиномы.

Передаточная функция линейной стационарной системы от комплексной переменной определяется как отношение преобразования Лапласа выхода к преобразованию Лапласа входа при нулевых начальных условиях

Передаточная функция звена, которое описывается приведенным выше уравнением, равна

,

то есть, совпадает с отношением операторных полиномов при замене переменной на .

Передаточная функция в среде Matlab вводится в виде отношения двух многочленов (полиномов) от комплексной переменной s. Полиномы хранятся как массивы коэффициентов, записанных по убыванию степеней. Например, передаточная функция вводится следующим образом[1]

>> n = [2 4]

n = 2 4

>> d = [1 1.5 1.5 1]

d = 1.0000 1.5000 1.5000 1.0000

>> f = tf (n, d)

Transfer function:

2 s + 4

-------------------------

s^3 + 1.5 s^2 + 1.5 s + 1

или сразу, без предварительного построения числителя и знаменателя:

>> f = tf ([2 4], [1 1.5 1.5 1]);

В памяти создается объект класса tf, описывающий передаточную функцию. Точка с запятой в конце команды подавляет вывод на экран.

По передаточной функции можно легко построить модель в форме «нули-полюса»

>> f_zpk = zpk(f)

Zero/pole/gain:

2 (s+2)

-----------------------

(s+1) (s^2 + 0.5s + 1)

Нулями называются корни числителя, полюсами – корни знаменателя. Эта функция имеет один нуль в точке и три полюса в точках и . Паре комплексных полюсов соответствует квадратный трехчлен.

Модель в пространстве состояний связана с записью дифференциальных уравнений в стандартной форме Коши (в виде системы уравнений первого порядка):

Здесь ­– вектор переменных состояния размера , – вектор входных сигналов (вектор управления) размера и – вектор выходных сигналов размера . Кроме того, и – постоянные матрицы. Согласно правилам матричных вычислений, матрица должна быть квадратной размера , матрица имеет размер , матрица – и матрица – . Для систем с одним входом и одним выходом[2] матрица – скалярная величина.

Для преобразования передаточной функции в модель в пространстве состояний используется команда

>> f_ss = ss (f)

a = x1 x2 x3

x1 -1.5 -0.1875 -0.03125

x2 8 0 0

x3 0 4 0

b = u1

x1 0.5

x2 0

x3 0

c = x1 x2 x3

y1 0 0.5 0.25

d = u1

y1 0

Это означает, что матрицы модели имеют вид

, , , .

Модель в пространстве состояний можно построить не для всех передаточных функций, а только для правильных, у которых степень числителя не выше, чем степень знаменателя. Например, передаточная функция – неправильная, она не может быть преобразована в модель в пространстве состояний.

Используют также понятие строго правильной функции, у которой степень числителя меньше, чем степень знаменателя. Если построить модель в пространстве состояний для такой функции, матрица будет равна нулю, то есть, прямая передача с входа на выход отсутствует (при скачкообразном изменении входа сигнал на выходе будет непрерывным).