Синтез с помощью ЛАФЧХ

В отечественной литературе классическим стал метод синтеза корректирующих устройств с помощью логарифмических амплитудно-фазовых частотных характеристик (ЛАФЧХ) разомкнутой системы (диаграмм Боде по зарубежной терминологии).

Пусть разомкнутая система имеет передаточную функцию . ЛАФЧХ включает в себя две кривые – амплитудную частотную характеристику (ЛАЧХ)

и фазовую (ЛФЧХ) .

Угловая частота (в рад/сек) на оси ординат откладывается в логарифмическом масштабе. При этом так называемые асимптотические ЛАЧХ представляют собой отрезки прямых, это значительно облегчает ручное построение.

Разложив числитель и знаменатель передаточной функции на сомножители первого и второго порядков, можно представить ЛАЧХ системы как сумму ЛАЧХ элементарных звеньев (апериодических, колебательных, интегрирующих, дифференцирующих и т.д.) Для

получаем, используя свойства логарифма,

.

Раньше вручную строили асимптотические ЛАЧХ, суммируя ЛАЧХ отдельных звеньев. В среде Matlab существуют средства, позволяющие автоматизировать построение точных (не асимптотических) ЛАФЧХ. При этом можно использовать накопленный за многие годы классический опыт проектирования.

Низкочастотная часть ЛАЧХ определяет точность системы, среднечастотная (вблизи частоты среза ) – устойчивость и качество переходного процесса, высокочастотная – чувствительность к помехам. Если система содержит интегратор, низкочастотная часть имеет ненулевой наклон (20 дБ на декаду для одного интегратора), постоянный сигнал отслеживается без установившейся ошибки. Для системы с двумя интеграторами ЛАФЧХ имеет в области низких частот наклон 40 дБ на декаду, без установившейся ошибки отслеживается не только постоянный, но и линейно возрастающий сигнал. Более сложные требования к точности приводят к тому, что ЛАЧХ не должна заходить в некоторые запретные области.

Запас устойчивости по амплитуде (в дБ) – это расстояние от ЛАЧХ до горизонтальной прямой дБ на частоте, на которой фазовая характеристика пересекает прямую . На этой частоте система должна иметь коэффициент усиления меньше 1 (или ).

Запас устойчивости по фазе (в градусах) – это расстояние от частотной характеристики до горизонтальной прямой на частоте среза . На этой частоте фазовая характеристика должна иметь значение больше .

Допустимым считается запас по амплитуде не менее 6 дБ и запас по фазе не менее 30 градусов.

«Подъем» ЛАЧХ означает увеличение коэффициента усиления контура, фазовая характеристика не изменяется. Точность системы (при отработке низкочастотных сигналов) повышается, однако увеличивается и влияние высокочастотных помех. Поскольку частота среза увеличивается, повышается быстродействие системы. При этом переходные процессы приобретают выраженный колебательный характер, запасы устойчивости уменьшаются, при дальнейшем увеличении коэффициента усиления теряется устойчивость.

Обычно требуется, чтобы система имела высокую точность (большой коэффициент усиления по контуру) для низких частот и подавляла высокочастотные помехи (имела низкое усиление в области высоких частот). Частота среза выбирается исходя из требований к быстродействию. Таким образом, типичная ЛАЧХ имеет вид, показанный на рисунке. Серым цветом показаны запретные области, которые определяются требованиями к точности и подавлению помех.

Для обеспечения хорошего качества переходных процессов рекомендуется, чтобы ЛАЧХ пересекала ось с наклоном 20 дБ/дек. Это объясняется тем, что наклон 20 дБ/дек, соответствующий апериодическому звену, приводит к наименьшей колебательности переходного процесса. Точки перехода (излома асимптотической ЛАЧХ) от низкочастотной части к среднечастотной и далее к высокочастотной должны отстоять от оси на 12-16 дБ.

В общем случае строится желаемая ЛАЧХ , удовлетворяющая требованиям к системе, затем ЛАЧХ последовательного корректирующего устройства определяется как разность между и и ЛАЧХ существующей разомкнутой системы.