Доказательство критерия Сильвестра.

Достаточность: дано, что все главные миноры матрицы квадратичной формы положительны, надо доказать, что она является положительно определенной.

 

Воспользуемся методом математической индукции и леммой.

 

Для достаточность очевидна.

Допустим, что и из положительности главных миноров матрицы квадратичной формы порядка до включительно следует возможность приведения квадратичной формы от переменных к виду .

Покажем, что в этом случае достаточность будет иметь место и для квадратичной

формы, зависящих от n переменных.

 

В выражении для квадратичной формы, зависящей от n переменных , выделим слагаемые, содержащие :

 

.

 

Двойная сумма в правой части этого равенства есть квадратичная форма , зависящая от переменной, причем главные миноры её матрицы совпадают с главными минорами до порядка включительно, которые, по условию, положительны. Отсюда следует, по предположению индукции, что квадратичная форма положительно определенная и для неё существует невырожденная замена переменных

,

приводящая её к каноническому виду: .

Запишем квадратичную форму в новых переменных (пока не заменяя x_n):

и выделим полные квадраты по :

,

где .

 

В матричном виде эту замену переменных можно записать как

 

 

и поскольку определитель ее матрицы отличен от нуля, то эта замена невырожденная.

 

Наконец, вспомним, что определитель матрицы квадратичной формы сохраняет знак при замене базиса. Определитель матрицы B квадратичной функции в исходном базисе положительный, поскольку этот определитель является главным минором порядка n. Но из выражения для в конечном базисе мы получаем, что определитель матрицы квадратичной формы равен . Поэтому и можно ввести переменную , в результате чего получаем канонический вид квадратичной формы

.

Следовательно, квадратичная функция положительно определена.

Достаточность доказана.

 

Необходимость.

Дано, что квадратичная функция положительно определенна, и надо доказать положительность главных миноров ее матрицы. Снова применим индукцию по числу переменных n.

Для это ясно.

Пусть и для форм от меньшего числа переменных утверждение теоремы верно.

Поскольку квадратичная форма из доказательства достаточности также является положительно определенной (ее значения – это значения при ), то по предположению индукции ее главные миноры, совпадающие с главными минорами матрицы B до порядка , положительны. А определитель самой матрицы B, который является главным минором порядка n, положителен, поскольку приводится к каноническому виду , и определитель матрицы полученной при этом квадратичной формы равен 1 и имеет такой же знак, как и определитель матрицы B.

Теорема полностью доказана. ð

 

Следствие. (Критерий отрицательной определенности). Для отрицательной определенности квадратичной формы в необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры её матрицы B имели чередующиеся знаки, начиная с минуса, т.е. .

Доказательство. Рассмотрим квадратичную форму с матрицей : для нее, по критерию Сильвестра,

Ч.т.д.