Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.
Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение. Правило. Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо: 1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину , составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот. 2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней: 3. Найти вероятность попадания X в частичные интервалы (xi, xi+1) по формуле 4. Вычислить теоретические частоты: , где - объем выборки. 5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где s – число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s – число интервалов, оставшихся после объединения.
Задача 648. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 1 (во второй строке указаны интервалы времени в часах, в третьей строке – частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала).
Таблица 6
Составим гистограмму.
1. Найдем среднее время работы для всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент): 2. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения: Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид 3. Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле 4. Найдем теоретические частоты: , где - вероятность попадания X в i-й интервал. 5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу, причем объединим малочисленные частоты (4+2+1=7) и соответствующие им теоретические частоты (6,30+2,32+0,84=9,46)
Таблица 7
Замечание: Для упрощения вычислений в случае объединения малочисленных частот целесообразно объединить и сами интервалы, которым принадлежат малочисленные частоты в один интервал. Так, в рассматриваемой задаче, объединив последние три интервала, получим один интервал (15,30). В этом случае теоретическая частота совпадает с суммой теоретических частот (9,46). По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы находим критические области χкр2(0,05;2)=6,0. Так как – то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой. Задача Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х c эмпирическим распределением выборки объема n=100, приведенным в табл. 8
Составим гистограмму
Решение 1. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианта xi* среднее арифметическое концов интервала: . В итоге получим распределение:
Вычислив выкладки по методу произведений найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение , σ*=7,28. Для вычисления составим таблицу и вычислим по формулам Таблица 9
2. Найдем интервалы учитывая что ; . Для этого составим расчетную таблицу (левый конец первого интервала примем равным -∞, а правый конец последнего ∞). Таблица 10
3. Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты Для этого составим расчетную таблицу №2.
Таблица №11
4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерии Пирсона: а) Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу №3. Таблица №12
Столбцы 7 и 8 служат для контроля вычислений по формуле Контроль: Вычисления произведены правильно. 5) По таблице критических точек распределения x2 по уравнению значимости и числу степеней свободы (s-число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области . Так как 13,33>9,5 ( > ) – отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности . Данные наблюдений не согласуются с гипотезой.
|