Студопедия — Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Проверка гипотезы о показательном распределении генеральной совокупности.






Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины X в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X имеет показательное распределение.

Правило. Для того чтобы при уровне значимости α проверить гипотезу о том, что непрерывная случайная величина распределена по показательному закону, надо:

1. Найти по заданному эмпирическому распределению выборочную среднюю . Для этого, приняв в качестве «представителя» i-го интервала его середину , составляют последовательность равноотстоящих вариант и соответствующих им частот.

2. Принять в качестве оценки параметра λ показательного распределения величину, обратную выборочной средней:

3. Найти вероятность попадания X в частичные интервалы (xi, xi+1) по формуле

4. Вычислить теоретические частоты:

,

где - объем выборки.

5. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где s – число первоначальных интервалов выборки; если же было произведено объединение малочисленных частот, следовательно, и самих интервалов, то s – число интервалов, оставшихся после объединения.

 

Задача 648. В результате испытания 200 элементов на длительность работы получено эмпирическое распределение, приведенное в табл. 1 (во второй строке указаны интервалы времени в часах, в третьей строке – частоты, т.е. количество элементов, проработавших время в пределах соответствующего интервала).

 

Таблица 6

№ п/п            
0-5 5-10 10-15 15-20 20-25 25-30
           

 

Составим гистограмму.

 

 

1. Найдем среднее время работы для всех элементов (в качестве среднего времени работы одного элемента примем середину интервала, которому принадлежит элемент):

2. Найдем оценку параметра предполагаемого показательного распределения:

Таким образом, плотность предполагаемого показательного распределения имеет вид

3. Найдем вероятности попадания X в каждый из интервалов по формуле

4. Найдем теоретические частоты: , где - вероятность попадания X в i-й интервал.

5. Сравним эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу, причем объединим малочисленные частоты (4+2+1=7) и соответствующие им теоретические частоты (6,30+2,32+0,84=9,46)

 

 

Таблица 7

    126,42 6,58 43,2964 0,3425
    46,52 -1,52 2,3104 0,0497
    17,10 -2,10 4,4100 0,2579
    9,46 -2,46 6,0516 0,6397
Σ      

Замечание: Для упрощения вычислений в случае объединения малочисленных частот целесообразно объединить и сами интервалы, которым принадлежат малочисленные частоты в один интервал. Так, в рассматриваемой задаче, объединив последние три интервала, получим один интервал (15,30). В этом случае теоретическая частота

совпадает с суммой теоретических частот (9,46).

По таблице критических точек распределения χ2, по уровню значимости α=0,05 и числу степеней свободы находим критические области χкр2(0,05;2)=6,0.

Так как – то нет оснований отвергнуть гипотезу о распределении X по показательному закону. Другими словами, данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.


Задача

Используя критерий Пирсона, при уровне значимости 0.05 проверить, согласуется ли гипотеза о нормальном распределении генеральной совокупности Х c эмпирическим распределением выборки объема n=100, приведенным в табл. 8

Номер интервала i Граница интервала Частота ni
xi xi+1
       
       
       
       
       
       
       
  n=100

 

Составим гистограмму

 

 

Решение

1. Вычислим выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение методом произведений. Для этого перейдем от заданного интервального распределения к распределению равноотстоящих вариант, приняв в качестве варианта xi* среднее арифметическое концов интервала: . В итоге получим распределение:

xi* 5,5 10,5 15,5 20,5 25,5 30,5 35,5
ni              

 

Вычислив выкладки по методу произведений найдем выборочную среднюю и выборочное среднее квадратическое отклонение , σ*=7,28.

Для вычисления составим таблицу и вычислим по формулам

Таблица 9

Границы Частота, ni ni· xi* ni2 ni2· xi*
xi xi+1
        5,5      
        10,5      
        15,5 232,5   3487,5
        20,5      
        25,5      
        30,5      
        35,5 248,5   1739,5
Σ              

2. Найдем интервалы учитывая что ; . Для этого составим расчетную таблицу (левый конец первого интервала примем равным -∞, а правый конец последнего ∞).

Таблица 10

i Границы Границы интервала
      - -12,7 -∞ -1,74
      -12,7 -7,7 -1,74 -1,06
      -7,7 -2,7 -1,06 -0,37
      -2,7 2,3 -0,37 0,32
      2,3 7,3 0,32 1,00
      7,3 12,3 1,00 1,69
      12,3 - 1,69 -∞

3. Найдем теоретические вероятности и теоретические частоты

Для этого составим расчетную таблицу №2.

 

Таблица №11

i Границы интервала
  - -1,74 -0,5000 -0,4591 0,0409 4,09
  -1,74 -1,06 -0,4591 -0,3554 0,1037 10,37
Продолжение таблицы 11
  -1,06 -0,37 -0,3554 -0,1443 0,2111 21,11
  -0,37 0,32 -0,1443 0,1255 0,2698 26,98
  0,32 1,00 0,1255 0,3413 0,2158 21,58
  1,00 1,69 0,3413 0,4545 0,1132 11,32
  1,69 - 0,4545 0,5000 0,0455 4,55
Σ            
                 

 

4. Сравним эмпирические и теоретические частоты, используя критерии Пирсона:

а) Вычислим наблюдаемое значение критерия Пирсона. Для этого составим расчетную таблицу №3.

Таблица №12

               
i
    4,09 1,91 3,6481 0,8920   8,8019
    10,37 -2,37 5,6169 0,5416   6,1716
    21,11 -6,11 37,3321 1,7684   10,6584
    26,98 13,02 169,5204 6,2833   59,3052
    21,58 -5,58 31,1364 1,4428   11,8628
    11,32 -3,32 11,0224 0,9737   5,6537
    4,55 2,45 6,0025 1,3192   10,7692
Σ           113,22

Столбцы 7 и 8 служат для контроля вычислений по формуле

Контроль: Вычисления произведены правильно.

5) По таблице критических точек распределения x2 по уравнению значимости и числу степеней свободы (s-число интервалов) находим критическую точку правосторонней критической области .

Так как 13,33>9,5 ( > ) – отвергаем гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности . Данные наблюдений не согласуются с гипотезой.








Дата добавления: 2015-09-15; просмотров: 8092. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.013 сек.) русская версия | украинская версия