Задано эмпирическое распределение непрерывной случайной величины в виде последовательности интервалов и соответствующих им частот , причем (объем выборки). Требуется, используя критерий Пирсона, проверить гипотезу о том, что случайная величина X распределена равномерно.
Правило. Для того чтобы проверить гипотезу о равномерном распределении , т.е. по закону
надо:
1. Оценить параметры и - концы интервала, в котором наблюдались возможные значения , по формулам (через и обозначены оценки параметров)
.
2. Найти плотность вероятности предполагаемого распределения
.
3. Найти теоретические частоты:
.
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы , где - число интервалов, на которые разбита выборка.
Задача №658. Произведено n=200 испытаний, в результате каждого из которых событие А появлялось в различные моменты времени. В итого было получено эмпирическое распределение, приведенное в табл.1(в первой строке указаны интервалы времени в минутах, во второй – соответствующие частоты, т.е. число появления А в интервале). Требуется при уровне значимости 0,05 проверить гипотезу о том, что время появления событий распределено равномерно.
Таблица 13
интервал
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
частота
Составим гистограмму
Рис. 1
По виду гистограммы частоты отклоняются от некоторой прямой. Предположим, что имеем равномерное распределение.
Решение 1. Найдем оценки параметров и равномерного распределения по формулам: ,
Для вычисления выборочной средней и выборочного среднего квадратического отклонения примем середины интервалов в качестве вариант (наблюдаемых значений X). В итоге получим эмпирическое распределение равноотстоящих вариант:
Таблица 14
№ п/п
2-4
4-6
6-8
8-10
10-12
12-14
14-16
16-18
18-20
20-22
Таблица 15
№ п/п
∑
Пользуясь, например, методом произведений, найдем:
Следовательно:
2. Найдем плотность предполагаемого равномерного распределения:
3. Найти теоретические частоты:
Длины третьего-девятого интервалов равны длине второго интервала, поэтому теоретические частоты, соответствующие этим интервалам и теоретическая частота второго интервала одинаковы, т.е.
.
4. Сравнить эмпирические и теоретические частоты с помощью критерия Пирсона, приняв число степеней свободы . Для этого составим таблицу.
Таблица 16
i
17,4
3,7
13,69
0,79
-4
0,80
-5
1,25
1,80
0,20
-6
1,80
0,05
0,20
-2
0,20
23,6
1,4
1,96
0,08
∑
Из расчетной таблицы получаем . По таблице находим . Так как < нет оснований отвергать гипотезу о равномерном распределении. Данные наблюдений согласуются с этой гипотезой.
Контрольные вопросы.
1. Что называется статистической гипотезой?
2. Какие критерии согласия вы знаете?
3. Как определяется число степеней свободы? В каком критерии оно используется?
4. Когда необходимо объединять интервалы?
5. Можно ли использовать критерий , если имеется 20 опытных данных?
6. Может ли критерий согласия давать согласие с несколькими законами распределения?
Библиографический список.
1. Гмурман В.Е. Теория вероятности и математическая статистика. М.: Высшая школа, 2002.
2. ГОСТ 11. 006- 74. Правила проверки согласия опытного распределения с теоретическим.
3. Шторм Р. Теория вероятностей. Математическая статистика. Статистический контроль качества. М.: Мир, 1970.
Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...
Устройство рабочих органов мясорубки Независимо от марки мясорубки и её технических характеристик, все они имеют принципиально одинаковые устройства...
Ведение учета результатов боевой подготовки в роте и во взводе Содержание журнала учета боевой подготовки во взводе. Учет результатов боевой подготовки - есть отражение количественных и качественных показателей выполнения планов подготовки соединений...
Характерные черты немецкой классической философии 1. Особое понимание роли философии в истории человечества, в развитии мировой культуры. Классические немецкие философы полагали, что философия призвана быть критической совестью культуры, «душой» культуры.
2. Исследовались не только человеческая...
Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит...