Задание 16

Вычислить объём тела, ограниченного данными поверхностями.

1. .

2. плоскости координат, плоскости x = 4, y = 4 и параболоид .

3. цилиндрические поверхности , и плоскости z = 0, x+z = 6.

4. координатные плоскости, плоскость 2 x+ 3 y- 12 = 0 и цилиндр .

5. цилиндр , координатные плоскости и плоскость 3 x +4 y =12 .

6. цилиндр ,координатные плоскости и плоскость 2 x + y = 4 .

7. , z = 12- 3x- 4y, z = 1.

8. z = xy, цилиндр , плоскости x+y = 2, y = 0, z = 0.

9. .

10.

 

Задание 17

Вычислить объём тела, ограниченного данными, переходя в тройном интеграле к цилиндрическим координатам.

1. .

2.

3.

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. , .

10. .

 

 

Задание 18

Переходя к сферическим координатам, вычислите интеграл:

 

1. , где V – область, ограниченная поверхностью .

2. .

 

3. , где V – область, ограниченная сферой .

 

4. , где V – область, ограниченная поверхностями: , , , y = 0, z = 0, y = x, .

 

5. , где V ограничена сферой и плоскостью z = 0 .

 

6. , где V – шар .

 

7. , где V - верхняя половина шара .

 

8. , где V ограничена сферой и плоскостью y = 0 .

 

9. , где V ограничена сферой и плоскостью х = 0 .

 

10. , где V – область, ограниченная поверхностью .

Вопросы к экзамену за 2 семестр

[1]. Определение функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных в точке. Двойной и повторные пределы.

2. Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.

3. Частные производные функции нескольких переменных. Определение дифференцируемой функции в точке. Необходимые и достаточные условия дифференцируемости функции нескольких переменных.

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков. [Формула Тейлора для функции нескольких переменных. Уравнение касательной плоскости к поверхности].

5. Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия локального экстремума.

6. Определение числового ряда. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Необходимое условие сходимости ряда.

7. Критерий Коши сходимости числового ряда.

8. Свойства сходящихся рядов.

9. Ряды с неотрицательными членами. Критерий сходимости ряда с неотрицательными членами. Интегральный признак сходимости ряда. Признак сравнения. Следствия из признака сравнения. Признак Коши. Признак Даламбера.

10. Абсолютно и условно сходящиеся ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

11. Степенные ряды. Радиус, интервал сходимости, область сходимости. Теоремы Абеля. Свойства степенных рядов.

[12]. Ряд Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в форме Пеано и в форме Лагранжа. Ряд Маклорена. Разложение основных элементарных функций в ряд Маклорена.

13. Определение двойного интеграла. Переход от двойного интеграла по элементарной области к повторному интегралу.

14. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярным координатам.

15. Определение тройного интеграла. Переход от тройного интеграла по элементарной области к повторному интегралу.

16. Замена переменных в тройном интеграле. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.

17. Приложения кратных интегралов в геометрии и механике.

[18]. Определение криволинейного интеграла первого рода. Вычисление криволинейных интегралов первого рода. Свойства и приложения криволинейных интегралов I рода.

[19]. Определение криволинейного интеграла второго рода. Вычисление криволинейных интегралов второго рода. Свойства и приложения криволинейных интегралов II рода.

[20]. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования.

[21]. Формула Грина.

[22]. Определение поверхностного интеграла первого рода. Вычисление поверхностных интегралов первого рода. Свойства и приложения поверхностных интегралов I рода.

[23]. Определение поверхностного интеграла второго рода. Вычисление поверхностных интегралов второго рода. Свойства и приложения поверхностных интегралов II рода.

[24]. Формула Остроградского-Гаусса и формула Стокса.

[25].Разложение функций в ряд Фурье.

 

(Вопросы в квадратных скобках – для самостоятельного изучения)