Градиент и производная по направлению.

Рассмотрим функцию двух переменных z = f (x,y). Градиентом функции z=f (x,y) в точке М₀ (х₀, у₀) называется ВЕКТОР, координатами которого являются частные производные этой функции, вычисленные в точке М₀:

, .

Градиент показывает направление, в котором скорость изменения функции максимальна, причем норма (длина) градиента равна величине этой максимальной скорости.

На плоскости ХОY выберем фиксированное направление, задаваемое вектором .

Переместим точку М₀ в области в положение М(х₀+Dх, у₀+Dу). Величины Dх и Dу называются приращение аргументов, а D z = f (x₀+Dx, y₀+Dy)- f (x₀, y₀) – полным приращением функции z при переходе от точки М₀ к точке М. Тогда производной функции z= f (x, y) по направлению вектора называется предел

Производная по направлению выражает скорость изменения функции в этом направлении.

Производная по направлению есть скалярное произведение градиента на единичный вектор заданного направления, т.е.

Таким образом, для нахождения градиента функции достаточно найти ее первые частные производные и вычислить из в заданной точке А. Для поиска производной по направлению надо предварительно найти длину (норму) заданного вектора как квадратный корень из суммы квадратов координат, затем найти координаты вектора , поделив координаты исходного вектора на найденное число. После этого перемножить скалярно найденный ранее вектор градиент и полученный вектор.