Оцінювання моделі з автокорельованими залишками
1. В економетричних дослідженнях часто постають такі випадки, коли дисперсія залишків є сталою, але спостерігається їх коваріація. Це явище називають автокореляцією залишків. Автокореляція залишків виникає часто тоді, коли економетрична модель будується на основі часових рядів. Якщо існує кореляція між послідовними значеннями деякої незалежної змінної, то спостерігатиметься й кореляція послідовних значень залишків. Отже, у такому разі також порушується гіпотеза, згідно з якою При автокореляції залишків, як і при гетероскедастичності, дисперсія залишків буде така:
Проте матриця S має тут зовсім інший вигляд. Запишемо цю матрицю:
У цій матриці параметр ρ характеризує коваріацію кожного наступного значення залишків із попереднім. Наприклад, якщо для залишків записати авторегресійну модель першого порядку:
то ρ характеризує силу зв’язкузалишків у період t від їх рівня в період t – 1. Якщо знехтувати наявністю автокореляції та для оцінювання параметрів моделі застосувати метод 1 МНК, то можливі такі наслідки: 1) оцінки параметрів моделі можуть бути незміщеними, але неефективними, тобто вибіркові дисперсії вектора оцінок 2) статистичні критерії t і F- статистики, які отримані для класичної лінійної моделі, практично не можуть бути використані для дисперсійного аналізу, оскільки їх обчислення не враховує наявності коваріації залишків; 3) неефективність оцінок параметрів економетричної моделі, як правило, призводить до неефективних прогнозів, тобто прогнозні значення матимуть велику вибіркову дисперсію. 2. Для перевірки наявності автокореляції залишків можна застосувати чотири методи. 1. Критерій Дарбіна–Уотсона. 2. Критерій фон Неймана. 3. Нециклічний коефіцієнт автокореляції. 4. Циклічний коефіцієнт автокореляції. 1. Критерій Дарбіна–Уотсона:
Критерій Дарбіна–Уотсона може набувати значень на множині Значення критерію DW табульовані на інтервалі 2. Критерій фон Неймана:
Звідси
|
. Але при гетероскедастичності змінюється дисперсія залишків за відсутності їх коваріації, а при автокореляції – існує коваріація залишків за незмінної дисперсії.
можуть бути невиправдано великими;
. Якщо залишки ut є випадковими величинами, тобто не автокорельовані, то значення DW міститься поблизу 2. У разі додатної автокореляції DW < 2, у разі від’ємної – DW > 2.
де DW 1– нижня межа; DW 2 – верхня межа. Фактичні значення критерію порівнюються з табличними (критичними) для числа спостережень n і числа незалежних змінних m при вибраному рівні довіри α. Якщо 
, залишки мають автокореляцію. Якщо 
, приймається гіпотеза про відсутність автокореляції. Якщо 
, конкретних висновків зробити не можна, існує невизначеність. При від’ємній автокореляції залишків, розраховане значення критерію DW віднімається від верхньої межі його, тобто від 4, а потім порівнюється з критичними значеннями, як зазначалося раніше.
при 
. Фактичне значення критерію фон Неймана порівнюється з табличним при вибраному рівні значущості α і заданому числі спостережень. Якщо 
, то існує додатна автокореляція.
