Оцінка параметрів моделі з лаговими значеннями показників

1. Для багатьох економічних процесів типовим є те, що ефект від впливу деякого фактора на показник, який характеризує процес, виявляється не одразу, а поступово, через деякий період часу. Таке явище називається лагом (запізненням).

Потреба враховувати лаг при кількісному вимірюванні взаємо­зв’язку між економічними показниками постає дуже часто. Наприк­лад, у динамічних моделях необхідно враховувати лаг при визна­ченні зв’язку між обсягом продукції і капітальними вкладеннями, або частину цього лагу – будівельний.

Кількісне вираження взаємозв’язку між капітальними вкладеннями і введенням основних фондів, між витратами виробничих ресурсів і обсягом виробництва, між доходами і витратами тощо має базуватися на врахуванні впливу запізнення, або лагу. Причому вплив деяких пояснювальних змінних на залежну може проявлятися не лише через певний період часу, а й протягом певного часу, тобто лаг може складатись з кількох часових періодів. У такому разі маємо справу з економетричною моделлю розподіленого лагу.

2. Нехай економетрична модель розподіленого лагу визначається так:

, (1)

де – параметри моделі при лагових змінних; – пояснювальна лагова змінна; t – період зрушення; – залишки, що розподілені нормально, тобто мають нульове математичне сподівання і сталу дисперсію.

Означення. Модель (1) називається загальною моделлю нескінченого розподіленого лагу, якщо для неї справджуються такі умови:

1) , для будь-яких k, j; (2)

2) , j = 1, 2, 3...; k = 1, 2, 3...; (3)

3) , де w – скінченне число; (4)

4) ; (5)

5) , . (6)

Означення 2. Коефіцієнти , j = 0,1,2 ..., називаються коефі­цієнтами лагу, а послідовність – структурою лагу.

Означення 3. Якщо виконуються умови (3) – (6), то величини називаються нормованими коефіцієнтами лагу, а послідовність – нормованою структурою лагу для моделі (1).

Моделі розподілених лагів можуть задовільно описувати процеси лише в тому разі, коли забезпечена відносна стабільність умов, в яких ці процеси реалізуються. Може йтися про стабільність відповідних індексів цін, процентних ставок за кредити, норми амортизації, термінів будівництва, обсягу та структури ресурсів. Така стабільність далеко не завжди спостерігається для порівняно довгих проміжків часу, протягом яких формується сукупність спостережень. Усе це підводить до побудови узагальненої моделі розподіленого лагу, яка містить не лише лагові змінні, а й інші фактори – пояснювальні змінні , значення яких характеризують поточні умови функціонування економічних систем у період t.

Узагальнена модель розподіленого лагу задаватиметься рівнянням

. (7)

Труднощі оцінювання параметрів такої моделі пов’язані з необхідністю враховувати обмеження на параметри .

3. Теоретично побудову моделі з розподіленими лагами можна узагальнити на будь-яку кількість незалежних змінних . Але практична реалізація такої моделі часто стикається з неперебор­ними труднощами, що зумовлені великою кількістю факторів, істотною обмеженістю часових рядів і складністю їх внутрішньої структури.

Як правило, до моделі входять такі змінні , для яких лаги обгрунтовані теоретично і перевірені емпірично. Для обґрунтування лагу чи лагів доцільно використовувати взаємну кореляційну функцію. Ця функція характеризує тісноту зв’язку кожного елемента вектора залежної змінної з елементом вектора незалежної , зсунутим один відносно одного на часовий лаг t.

. (8)

Для різних значень t на основі взаємної кореляційної функції можна дістати n + 1 значення . Якщо t = 0, то маємо парний коефіцієнт кореляції. Значення містяться на множині . Найбільше значення за модулем (найближче до одиниці) визначає зрушення, або часовий лаг. Якщо серед множини значень є кілька, величини яких наближаються до одиниці, то це означає, що запізнення впливу змінної відбувається протягом певного проміжку часу і в результаті маємо кілька часових лагів для двох взаємопов’язаних часових рядів. Знайшовши часові лаги для визначення взаємозв’язку між економічними показниками, можна побудувати економетричну модель розподіленого лагу.

Величину t називають зрушенням (зсуненням). Зрушення, якому відповідає найбільший коефіцієнт взаємної кореляції, називається часовим запізненням, або часовим лагом.

Графік нормованої кореляційної функції називається корелограмою.

3. Наявність мультиколінеарності між лаговими змінними утруднює побудову економетричної моделі з лаговими змінними.

Один зі способів звільнитись від мультиколінеарності – це ввести такі коефіцієнти при лагових змінних, які мали б однаковий знак і для них можна було знайти суму. З врахуванням умов (3) – (6), модель з розподіленим лагом набере такого вигляду:

. (9)

Л. Койк запропонував вибрати для запису вагових коефіцієнтів форму спадної геометричної прогресії

, (10)

де .

Звідси

. (11)

Якщо через D позначити оператор зрушення, такий, що Dx_t = x_{t– 1}, D ² x_t = x_{t– 2}і т.д., то вираз (10) можна записати так:

.

З урахуванням цього модель (11) матиме вигляд:

.

Це припущення, що його зробив Койк, приводить до значних спрощень співвідношення (1). Адже замість оцінки цілого ряду параметрів моделі достатньо дати оцінки лише двох параметрів і у рівнянні, де розглядається як функція і .

Діставши оцінку параметра і скориставшись співвідношенням (10), можна обчислити всі вагові коефіцієнти. Середнє значення розподілу дорівнює , тому для геометричного розподілу середній лаг

.

Входження до формули (11) лагового значення змінної Y має забезпечити досить добру апроксимацію моделі.

При цьому слід зауважити, що не завжди лаги розподілятимуться обов’язково за законом Койка, який забезпечує найближчому значенню X найбільшу вагу, а всім наступним – постійно спадні ваги. Якщо можна припустити, що це не так, то тоді лишається кілька перших вагових коефіцієнтів вільними, а для всіх інших використовується закон розподілу Койка.

Наприклад, можна записати

(12)

де перші два коефіцієнти лишаються вільними, а починаючи з вони спадають геометрично. Використаємо оператор зрушення D для скороченого запису моделі (10.13).

Рівняння (10.13) можна подати у вигляді

(13)

Якщо модель має дві пояснювальні змінні, скажімо, х і z, то розподілені лаги Койка можуть бути використані для кожної з них. Най­простіше припустити, що для обох змінних вибирається однакове значення .

Тоді модель розподіленого лагу

.

Якщо взяти параметри λ різними для різних пояснювальних змінних, то до моделі треба ввести змінні x_t, Z_t, y_t з оператором
зрушення Dx_t = x_{t– 1}, D ² x_t = x_{t– 2}, DZ_t = Z_{t– 1}, D ² Z_t = Z_{t– 2}, Dy_t = y_{t– 1},
D ² y_t = y_{t– 2}:

Отже, припущення, зроблене Койком, спричинюється до появи в правій частині рівняння величин і . причому для змінної слід узяти суму параметрів l₁ і l₂, а для змінної – їх добуток. Аналогічно діють із залишками u_{t– 1} і u_{t– 2}.

Зі щойно сказаного випливає: коли використовувати схему Койка для економетричної моделі, яка має лагові пояснювальні змінні, то в правій частині моделі серед таких змінних з’являється лагова залежна змінна y_{t– t}. З її появою стають стохастичними пояснювальні змінні моделі.

До появи в правій частині моделі лагових значень залежної змінної приводять і деякі інші моделі. Добре відомими моделями такого типу є модель часткового коригування і модель адаптивних сподівань.

Коли відсутнє повне уявлення про об’єкт, його інерційність, то застосовується метод часткового коригування. Розглянемо його.

Нехай

. (14)

У цьому рівнянні розглядається як оптимальне значення y_t, яке відповідає x_t. Так, наприклад, якщо x_t – дохід, то y_t може визначати величину оптимальних витрат при доході x_t. Нехай величина доходу x_t різко змінюється (збільшується чи зменшується). При цьому споживчі витрати y_t можуть не змінитись адекватно доходу з різних причин: певна інерційність, недостатня інформація, договірні умови і т.ін. Тому в даному разі використаємо коригуючу функцію:

, (15)

яка вказує, що протягом поточного періоду часу буде пройдено лише частину відстані між вихідним станом та оптимальним . Об’єднавши (14) і (15), дістанемо модель часткового коригування:

. (16)

Ця залежність дуже схожа на кінцеве рівняння Койка (11) і відрізняється лише наявністю вільного члена і простішою формою залишків.

Недоліком моделі часткового коригування є те, що оптимальне значення не завжди визначається лише поточним значенням x_t, а й попередніми значеннями цієї змінної.

Якщо значення x_t змінюється від періоду до періоду, то оптимальне значення також змінюватиметься. Це явище знайшло своє відображення в моделі адаптивних сподівань, яка характеризує зв’язок змінної Y з очікуваним рівнем X. Позначимо його через . Маємо

, (17)

де – очікуване значення x_t, яке сформоване в поточний момент часу, u_t – залишки, які можуть бути пов’язані з неточним вимірюванням значення змінної .

Оскільки – очікуване значення, то слід доповнити модель (17) деякими припущеннями відносно формування очікуваного значення .

Загальноприйнятими в такому разі є припущення про адаптивні сподівання, які можна записати так:

. (18)

Це означає, що змінні, які спостерігатимуться протягом поточного періоду порівняно з очікуваними раніше, ураховуються лише частково, що й відображує у формулі (18) додатне число , яке не перевищує одиниці. Щоб перейти до змінних , які фактично спостерігаються, запишемо:

,

де .

Використовуючи оператор зрушення D, можна записати:

.

Підставимо це значення в (18):

,

помноживши обидві частини на дістанемо:

,

або

.

Остаточно це рівняння матиме вигляд

.

Останнє рівняння є простоюмоделлю адаптивних сподівань. Порівнявши його з (16), побачимо, що воно має такі самі змінні, як і модель часткового коригування, відрізняється лише формуванням залишків. Модель адаптивних сподівань відрізняється від схеми Койка лише наявністю вільного члена.

Остаточні рівняння всіх трьох моделей практично збігаються, бо як у моделі адаптивних сподівань, так і в моделі часткового коригування використовуються вагові коефіцієнти, що спадають за геометричною прогресією.

4. Коли схема формування вагових коефіцієнтів задовольняє припущення Койка, модель часткового коригування або модель адаптивних сподівань, то у правій частині економетричної моделі виникає лагове значення залежної змінної Y. Це зумовлює певні проблеми при оцінюванні параметрів такої моделі. Розглянемо ці проблеми.

Нехай економетрична модель має вигляд

. (19)

Як ми вже переконалися, методи оцінювання параметрів моделі залежать від гіпотез, які будуть прийняті щодо залишків .

Гіпотеза 1. Залишки є випадковими величинами і розподіляються нормально, тобто .

Гіпотеза 2. Залишки виражені через параметр , тобто

.

а) ;

б) , .

Гіпотеза 3. Залишки , , .

Перша гіпотеза найпростіша, а тому єдина складність в оцінюванні параметрів моделі пов’язується з наявністю в правій частині лагової змінної .

Друга гіпотеза відповідає схемі Койка і моделі адаптивних сподівань. При цьому розглядаються два варіанти:

а) залишки незалежні;

б) залишки описуються авторегресійною моделлю першого порядку.

Третя гіпотеза не пов’язується ні зі схемою Койка, ні з моделлю адаптивних сподівань. Згідно з цією гіпотезою величина залишків описується авторегресійною схемою першого порядку (найпростіший випадок).

Розглянемо особливості оцінки параметрів моделі при різних гіпотезах відносно залишків.

Гіпотеза 1. Оскільки залишки не корельовані між собою, то оцінка параметрів може бути виконана за методом 1МНК. Але цей метод дасть зміщення оцінки, бо залишки не можна вважати незалежними від лагової змінної . Оскільки , то і для і .

Щоб знайти величину зміщення розглянемо таку модель:

,

де і послідовні значення некорельовані.

Для такої моделі оцінка параметрів a на основі 1МНК дає

.

В економетричній літературі доведено, що в такому разі зміщення параметра

. (19)

Альтернативною оцінкою параметра a може слугувати коефіцієнт автокореляції першого порядку для у, тобто

. (20)

Зміщення тоді визначатиметься так:

, (21)

тобто обидві оцінки мають тенденцію до завищення параметра a, причому рівень зміщення параметра r більший, ніж параметра .

За допомогою методу Монте-Карло було досліджено оцінки параметрів a у моделі із застосуванням таких прийомів:

а) визначення параметра r;

б) використання параметра r, скоригованого на величину зміщення в (21);

в) застосування 1МНК.

При цьому виявилось, що оцінка параметрів a на основі 1МНК має найменшу середньоквадратичну помилку. Звідси, якщо залишки рандомізовані, то найдоцільніше використовувати 1МНК.

Гіпотеза 2а. Якщо залишки в моделях з лаговою змінною мають вигляд де автокорельовані, тобто то оцінки параметрів моделі 1МНК матимуть зміщення. Так, якщо то зміщення для буде

. (22)

Асимптотичні зміщення оцінки і r збігається, але має протилежні знаки. Зміщення має і критерій Дарбіна – Уотсона, яке можна записати так:

, (23)

тобто асимптотичне зміщення для критерію Дарбіна–Уотсона – це подвоєне зміщення для оцінки параметра .

Коли в економетричній моделі серед пояснювальних змінних є лагове значення залежної змінної, застосування критерію Дарбіна– Уотсона для виявлення серійної кореляції залишків приводить до зміщення його оцінок. Тому Дарбін розробив методи перевірки автокореляції залишків, які можна застосувати і для моделей з лаговими змінними, що побудовані на базі великих сукупностей спостережень (n). Цей критерій визначається так:

,

де – оцінка параметра в автокореляційній моделі першого порядку:

u_t=u_{t– 1} +u_t,

var – оцінка вибіркової дисперсії параметра , який знаходиться при лаговій змінній y_{t – 1}. Оцінку параметра можна дістати з такого співвідношення:

.

Для перевірки нульової гіпотези обчислені величини h порівнюються з критичними значеннями (односторонній критерій) нормального розподілу (c²) при вибраному рівні значущості. З формули цього критерію видно, що коли var ³1, то його використовувати не можна. Для критерію h виконується така сама перевірка, як і в разі стандартного нормального відхилення, тобто коли при рівні значущості a = 0,05 h >1,645, то гіпотеза про нульову автокореляцію відхиляється.

Розглянемо особливості оцінки параметрів, коли залишки мають форму для моделі адаптивних сподівань і схеми Койка, тобто , .

Тоді математичне сподівання залишків дорівнюватиме нулю для всіх t, а дисперсія визначатиметься так: для всіх t. А це означає, що для оцінювання параметрів моделі в даному разі можна використати узагальнений метод най­менших квадратів:

.

Оскільки дисперсія залишків пропорційна до величини 1 + l², тоді як коваріація для t = ±1 дорівнює –ls², а для ½t½ ³ 2 дорівнює нулю, то матриця V має вигляд

, (24)

а матриця X містить лагову змінну .

Узявши до уваги, що параметр при дорівнює l, дійдемо висновку: коли l відома, модель спрощується і має вигляд

. (25)

Тоді матриця X складатиметься лише з двох стовпців, перший з яких утворюється одиницями, а другий – спостереженнями над X. Вектор Y в такому разі складається з перетворених даних . Як бачимо, проблема оцінювання параметрів у цьому випадку зводиться до знаходження параметра l.

Зельнер і Гейсел запропонували вибирати значення параметра з інтервалу: 0 < < 1. Це означає, що довільно вибирається параметр l, на основі якого формується матриця V з (24). Ця матриця в свою чергу дає змогу знайти оцінки параметрів узагальненим методом найменших квадратів. Вибирається те значення параметра l, яке дає змогу мінімізувати суму квадратів залишків , а звідси і стандартну помилку параметрів. Тобто використовується поступовий перебір значень l на певному інтервалі, доки не буде знайдено той параметр, який забезпечує найкращий розв’язок.

Гіпотеза 2б. Згідно з цією гіпотезою залишки мають вигляд:

, ;

, , .

Зельнер і Гейсел запропонували процедуру пошуку параметрів l і для цієї моделі.

Запишемо економетричну модель (25) у вигляді

. (26)

Визначимо . Отже,

.

Перепишемо це рівняння так:

,

де .

Оскільки

,

то

.

Шляхом послідовних підстановок можна записати :

(27)

Якщо l і відомі, то (27) визначає Y як лінійну функцію від трьох невідомих параметрів , і a ₂ плюс випадкове відхилення. Тоді ці параметри можна відшукати на основі 1МНК. Матриця вихідних даних матиме вигляд:

.

З огляду на те, що l і невідомі, Зельнер і Гейсел запропонували вибирати значення l і довільно на проміжку 0 < l< 1;
–1 < < 1. Для кожної пари l і послідовно обчислюються зна­чення і залишки. У кінці процедури вибираються ті значення l і , які забезпечують мінімальну суму квадратів відхилень.

Як бачимо, процедура оцінювання параметрів при гіпотезах 2а і 2б є досить громіздкою. Тому використовувати її слід лише тоді, коли є впевненість, що залишки мають ту специфікацію, яка визначає особливості прийнятої гіпотези.

Гіпотеза 3. Згідно з цією гіпотезою специфікується модель:

,

де , , .

Ця гіпотеза не пов’язується ні зі схемою Койка, ні з моделлю адаптивних сподівань. Ідеться про оцінку параметрів моделі, яка має серед пояснювальних змінних лагове значення залежної змінної і одночасно має автокорельовані залишки.

Розглянемо метод Ейткена. Якщо відоме, то можна сформувати матрицю

.

і оцінити параметри моделі за методом Ейткена:

,

де

Така процедура наближено еквівалентна застосуванню 1МНК до моделі

відносно перетворених даних. У результаті дістаємо обґрунтовані і асимптотично ефективні оцінки параметрів, але через присутність лагового значення залежної змінної в правій частині, вони будуть зміщеними для кінцевих вибірок.

Якщо значення параметра невідоме, то можна скористатись процедурою пошуку, запропонованою для гіпотези 2.

Як альтернативу можна запропонувати ітеративний метод. Розглянемо його.

Перепишемо останнє рівняння у вигляді:

. (28)

Щоб безпосередньо оцінити всі чотири параметри мінімізацією суми квадратів відхилень для (28), треба розв’язувати нелінійні рівняння відносно параметрів. Якщо розбити параметри на дві множини, внісши до однієї a ₀, a ₁, a ₂, а до іншої – , то можна знайти умовний мінімум суми квадратів залишків для рівняння (28) почергово відносно кожної множини параметрів. У такому разі оцінюватимуться лінійні рівняння.