Аксиомы непрерывности.

Четвертая группа состоит из двух аксиом.

(Аксиома Архимеда). Пусть даны два отрезка АВ и CD. Тогда на прямой АВ существует такая конечная система, состоящая из n точек , расположенных так, что точка лежит между точками А и , точка - между точками и и так далее. При этом отрезки равны отрезку CD (рис. 12). Тогда точка В лежит между и .

(Аксиома Кантора) Пусть на произвольной прямой а дана бесконечная система отрезков , ,…, …, из которых каждый последующий лежит внутри предыдущего. Пусть далее, для любого отрезка CD найдется такой номер n, что . Тогда на прямой а существует такая точка Х, которая лежит внутри отрезков , ,…, и т.д. (рис. 13).

Легко видеть, что аксиома представляет собой ни что иное, как принцип Кантора о стягивающихся отрезках, с которым мы знакомились в курсе математического анализа. Нетрудно доказать, что точка Х, существование которой постулируется в аксиоме Кантора, единственная. Действительно, пусть существует еще одна точка Х¢, принадлежащая любому из отрезков системы , ,…, ,…. Тогда для любого номера nпротиворечит аксиоме .

Условимся обозначать через отрезок [AB] множество, состоящее из точек А и В и всех внутренних точек отрезка АВ. Можно доказать, что при выполнении аксиом первых трех групп аксиоматики Гильберта, аксиомы и равносильны следующему утверждению Дедекинда.

Теорема 4.3. Пусть дано разбиение точек отрезка [AB] на два класса (множества) и , удовлетворяющих условиям:

1. Æ;

2. и классы и содержат точки, отличные от А и В;

3. любая точка класса , отличная от А, лежит между точкой А и любой точкой класса .

Тогда существует такая точка отрезка [AB], для которой любая точка, лежащая между А и принадлежит классу , а любая точка, лежащая между и В - принадлежит классу .

Доказательство этой теоремы мы не приводим. Читатель может познакомиться с ним в пособии [6]. Разбиение отрезка на классы, удовлетворяющие условию теоремы 4.3, называют дедекиндовым сечением, при этом точка производит дедекиндово сечение. Доказывается, что такая точка единственная, при этом она принадлежит либо одному, либо другому классу.

Аксиомы первых четырех групп аксиоматики Гильберта позволяют доказать известные теоремы о пересечении прямых и окружностей, а также теорему о существовании перпендикуляра, опущенного из точки на окружность. С помощью этих аксиом строится теория измерения отрезков и углов, с которой мы познакомимся в последующих разделах пособия. Теория же измерения отрезков установает биектвное соответствие между множеством точек прямой и множеством действительных чисел, при котором сохраняется отношение порядка.

Геометрическую теорию, построенную на аксиомах принадлежности, порядка, конгруэнтности и непрерывности, называют абсолютной геометрией. Все утверждения, доказанные ранее в параграфах 3 и 4, являются утверждениями абсолютной геометрии.

Теорема 4.2 позволяет утверждать, что в абсолютной геометрии существуют непересекающиеся прямые. Для обоснования теории параллельных прямых евклидовой геометрии Д. Гильберт вводит еще одну группу аксиом.