Аксиомы конгруэнтности

Отношение конгруэнтности должно удовлетворять следующим аксиомам.

. Если дан отрезок АВ и луч с началом в точке A¢, то существует такая точка В¢ этого луча, такая, что АВ = А¢В¢. Для каждого отрезка АВ требуется, чтобы АВ = ВА.

Смысл первой части этой аксиомы заключается в том, что от начала любого луча можно «отложить» отрезок, равный данному. Можно доказать, что при выполнении условий аксиомы , точка В¢ единственная.

Если отрезок АВ конгруэнтен отрезкам А¢В¢ и А¢¢В¢¢, то отрезки А¢В¢ и А¢¢В¢¢ конгруэнтны между собой.

Другими словами, из равенств АВ = А¢В¢ и АВ = А¢¢В¢¢ следует А¢В¢ = А¢¢В¢¢. Отношение конгруэнтности отрезков обладает свойством транзитивности. Можно доказать, что отношение конгруэнтности отрезков является отношением эквивалентности.

.Если точка В лежит между точками А и С, А-В-С, а точка В¢ между точками А¢ и С¢, А¢-В¢-С¢, и АВ = А¢В¢, ВС = В¢С¢, то АС = А¢С¢.

Иначе говоря, если отрезки АС и А¢С¢ разбиты точками В и В¢ на попарно равные части, то они равны между собой

Для формулировки следующей теоремы напомним понятие флага. Пусть дана точка О, луч h с началом в точке О, принадлежащий прямой , и полуплоскость l с границей , то тройка О, h, l называется флагом и обозначается (О, h, l).

. Пусть дан угол и дан флаг (), то в полуплоскости l¢ существует один и только один луч k¢ с началом в точке О¢, такой, что . Каждый угол конгруэнтен сам себе.

Смысл первой части аксиомы состоит в том, что в полуплоскости, определяемой флагом, от луча флага можно отложить угол, равный данному, и при том только один.

.Пусть А, В и С – три точки, не принадлежащие одной прямой, А¢, В¢ и С¢ - так же три точки, не лежащие на одной прямой, пусть АВ = А¢В¢, ВС = В¢С¢ и , тогда

 

Основные теоремы, которые вытекают из аксиом конгруэнтности.

1⁰. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны между собой. 2⁰. Первый, второй и третий признаки равенства треугольников.

3⁰. Отношение конгруэнтности является отношением эквивалентности на множестве углов.

4⁰. Вертикальные углы равны между собой..

 

Определение 4.1. Если даны два отрезка АВ и А¢В¢ и на отрезке АВ существует такая внутренняя точка С, что отрезка АС и А¢В¢ конгруэнтны друг другу, АС = А¢В¢, то будем говорить, что отрезок АВ больше отрезка А¢В¢, а отрезок А¢В¢ меньше отрезка АВ.

 

Определение 4.2. Если даны два угла и и существует такой внутренний луч l угла , что , то будем говорить, что угол больше угла , а угол меньше угла .

Из аксиом первой, второй и третьей групп аксиоматики Гильберта вытекает известные теоремы о соотношениях между углами и сторонами в треугольнике: против большей стороны в треугольнике лежит больший угол и, наоборот, против большего угла лежит большая сторона.

Внутренняя точка С отрезка АВ называется его серединой, если АС = СВ. Доказывается теорема о том, что любой отрезок имеет середину и при том только одну. Аналогично вводится понятие биссектрисы угла. Внутренний луч l угла называется его биссектрисой, если . Доказывается утверждение, что любой угол имеет биссектрису и при том только одну.

Аксиомы конгруэнтности позволяют ввести понятие суммы углов и отрезков. Отрезок А¢С¢ называется суммой отрезков АВ и ВС, если существует такая его внутренняя точка В¢, что АВ = А¢В¢, ВС = В¢С¢. Аналогично, носит название суммы углов и , если существует такой его внутренний луч q¢, что и .

Вводится понятие прямого угла. Угол называется прямым, если он равен своему смежному углу. Доказываются теоремы.

Любые два прямых угла конгруэнтны между собой.

Через любую точку прямой можно провести перпендикулярную к ней прямую.

Доказательства приведенных утверждений мы опускаем. Читатель может познакомиться с ними в пособиях [6], [7], [8].

Угол, смежный с внутренним углом треугольника, называется его внешним углом. Перейдем к доказательству крайне важной для нас теоремы, которую будем называть теоремой о внешнем угле треугольника.

Теорема 4.1. (Теорема о внешнем угле треугольника). Внешний угол треугольника больше любого внутреннего, не смежного с ним.

Доказательство. Пусть дан треугольник АВС, угол ВСD является его внешним углом (рис. 9). Требуется доказать, что он больше угла АВС. Разделим отрезок СВ пополам, точка М – середина отрезка ВС. Точка М разбивает прямую АМ на два луча. На луче, дополнительном к МА, от точки М отложим отрезок МА¢, равный отрезку АМ (аксиома ). Докажем, что точка А¢ - внутренняя точка угла ВСD. Обозначим через a полуплоскость с границей АС, содержащую луч АЕ, а через b - полуплоскость с границей ВС, не содержащую точку А (см. рис. 9). Нам следует доказать, что точка А¢ принадлежит пересечению полуплоскостей a и b. Точки В и С принадлежат лучам АЕ и АD, поэтому середина отрезка ВС – внутренняя точка . Отсюда следует, что луч АМ – внутренний луч угла , поэтому любая его точка, в том числе и точка А¢, – внутренняя точка этого угла. Так как внутренняя область угла принадлежит полуплоскости a, то точка А¢ лежит в этой полуплоскости. Точки А и А¢ по построению лежат в разных полуплоскостях относительно прямой ВС. Так как полуплоскость b не содержит точку А, то, следовательно, она содержит точку А¢. Таким образом, точка А¢ - внутренняя точка .

Так как А¢ - внутренняя точка угла , то луч СА¢ - внутренний луч этого угла, и, в силу определения 4.2, . Но, с другой стороны, М – середина отрезка ВС, поэтому отрезок ВМ равен отрезку МС, по построению АМ = МА¢, как вертикальные, из первого признака равенства треугольников следует, что . Так как углы АВМ и МСА¢ соответствуют друг другу в равных треугольниках, то . Из доказанного выше неравенства следует, что . Теорема доказана.

Теорема о внешнем угле треугольника позволяет доказать, что на плоскости существуют непересекающиеся прямые. Рассмотрим на плоскости произвольную прямую c, выберем на ней две точки А и В. Пользуясь аксиомой , построим две прямые a и b, пересекающие с так, чтобы соответственные углы a и b были равны между собой (рис. 10). Легко доказать следующее утверждение.

Теорема 4.2. Если при пересечении двух прямых a и b третьей соответственные углы a и b (см. рис. 10) равны между собой, то прямые a и b не пересекаются.

Доказательство. Предположим противное, пусть прямые а и b пересекаются в некоторой точке С (рис. 11). В треугольнике АВС - внутренний угол, а - внешний. По условию , что противоречит теореме 4.1. Утверждение доказано.

Если при пересечении двух прямых a и b третьей прямой с накрест лежащие углы равны между собой, или сумма внутренних односторонних равна развернутому углу, то прямые a и b не пересекаются.

Следует отметить, что из аксиом первых трех групп не следует утверждение, обратное к условию теоремы 4.2, если даны две непересекающиеся прямые, пересеченные третьей, то отсюда не следует равенство односторонних углов. Для доказательства этого утверждения необходима аксиома параллельности евклидовой геометрии.

Из аксиом первых трех групп также не следует, что на плоскости существует несчетное множество точек. Поэтому, например, нельзя доказать, что из любой точки, не лежащей на прямой, можно опустить перпендикуляр на эту прямую, или прямая и окружность пересекаются, если перпендикуляр, опущенный из центра окружности на прямую, меньше или равен радиусу окружности. Нельзя также доказать, что две окружности пересекаются, если отрезок, соединяющий их центры, меньше суммы радиусов окружностей. Устранить такого рода недостатки при построении элементарной геометрии позволяет четвертая группа, аксиомы непрерывности. Они и следствия из них будут изложены нами так, как это принято в учебной литературе, при этом мы отклонимся от схемы Гильберта (см. [5]).