Методы нахождения ранга.

Метод целенаправленного перебора миноров.

Если все миноры первого порядка (элементы матрицы) равны нулю, то r =0.

Если хотя бы один из миноров первого порядка отличен от нуля, а все миноры второго порядка равны 0, то r =1.

Если хотя бы один минор второго порядка отличен от 0, то исследуют миноры третьего порядка. Если они все равны 0, то r = 2. В противном случае (если хотя бы один минор третьего порядка, не равный 0) исследуют миноры 4-го порядка.

Так поступают до тех пор, пока не обнаружится одно из двух: либо все миноры (К+1)-го порядка равны 0 М_К+1=0, либо миноры порядка (К+1)-го не существует, тогда ранг равен К: r = K. если пользоваться только определением, то требуется вычисление большого количества определителей, поэтому этот метод неэффективен при больших m, n.

Пример. Найти ранг матрицы А=

Решение.

Так как среди миноров первого порядка элементов матрицы есть не равные 0, то r (A)≥1.

Проверим, может ли быть ранг равен двум. Для этого найдем хотя бы один минор второго порядка, не равный 0. Например,

Теперь вычислим все миноры третьего порядка. Но таких только один- это определитель данной матрицы. Он равен 0: .

Значит, ранг матрицы равен двум: r (A)=2.

Метод окаймляющих миноров.

Определ. Минор М_К+1 порядка К+1, содержащий в себе минор М_К порядка К, называется окаймляющим минором М_К.

Пример. Для матрицы

А= минором третьего порядка М₃, окаймляющим минор второго порядка М₂= является М₃= или М₃ = окаймляющий минор М₃ не единственный.

 

Если у матрицы А существует минор М_К≠0, а все окаймляющие его миноры М_К+1=0, то ранг r (A) = K/

Метод элементарных преобразований Гаусса.

Пример. Привести к трапециевидной форме матрицу и найти ее ранг:

А=

Решение. Умножая первую строку последовательно на -2, -4, -5 и прибавляя соответственно ко второй, третьей и четвертой строкам, получим новую матрицу, эквивалентную данной:

Умножили вторую строку на (-1) и сложив сначала с третьей строкой, а затем с четвертой строкой, получили эквивалентную матрицу . Полученная трапециевидная матрица имеет две ненулевых строки, значит, ее ранг равен двум, как и ранг эквивалентной ей матрицы А: r (A) =2.