Раздел 2. Выбор в условиях неопределенности

1. Рассмотрите индивида, которому предложили выбрать между получением 7 д.е. и участием в лотерее, позволяющей выиграть 20 д.е. с вероятностью и 4 д.е. с вероятностью .

(а) Если известно, что индивид – рискофоб, то что он выберет?

(б) Если известно, что индивид – рискофил, то что он выберет?

(в) Если известно, что индивид нейтрален к риску, то что он выберет?

(г) Предположим теперь, что элементарная функция полезности индивида имеет вид: . Каково отношению к риску у данного индивида? Что выберет данный индивид? Как изменится ваш ответ, если индивиду предлагается выбор между данной лотереей и гарантированным получением 4,5 д.е.?

2. Пусть лотерея L обещает выплату в размере с вероятностью и в размере в противном случае. Рассмотрите нейтрального к риску индивида, обладающего богатством . Обозначим через - минимальную цену, по которой индивид согласится продать данную лотерею, если он ею владеет, а через - максимальную цену, за которую он согласится купить данную лотерею, если он ею не владеет. Чему равны и ? Проинтерпретируйте полученный результат.

3. Г-жа A рассматривает альтернативы проведения субботнего вечера. Она может пойти в ресторан “Ocean View”. Такое времяпрепровождение она оценивает в 49 д.ед. Кроме того, г-жа А может пойти в ресторан “Renaissance”. Если в “Renaissance” будет выступать “Flabrum euri”, то такой вечер оценивается г-жой А в 100 д.ед. Если же концерта не будет, то оценка такого вечера 16 д.ед. Обычно по субботам в ресторане “ Renaissance” действительно выступает “Flabrum euri”, и вероятность такого события г-жа А оценивает в 75 %. Она может позвонить в справочную службу ресторана, чтобы узнать будет концерт или нет. За неуплату у А отключили стационарный телефон. Поэтому она может сделать звонок только с мобильного телефона. В соответствии с ее тарифом для нее звонок платный. Предпочтения А описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности .

(а) Какова максимальная цена за звонок, которую согласится заплатить А?

(б) Приведите иллюстрации в пространстве «богатство-полезность» и пространстве контингентных благ.

4. Рассмотрите следующие элементарные функции полезности:

(1) ; (2) ;

(3) ; (4) ;

(5) ; (6) ;

(7) ; (8) .

(а) Какая/какие из указанных функций полезности описывают предпочтения индивида, обладающего положительным богатством, если

• индивид является рискофобом;
• индивид нейтрален к риску;
• индивид является рискофилом?

(б) Есть ли среди указанных функций полезности такие, что индивид при одном уровне богатства является рискофобом, а при другом - рискофилом?

5. Состояние г-на Х оценивается в 64 д.е., однако часть этого богатства, равная 28 д.е., хранится на депозите в банке Y. По мнению экспертов банк Y находится на грани банкротства, в связи с чем вероятность потери вложенных в банк средств оценивается в 25%. Будем считать, что предпочтения г-на Х описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности .

(а) Фирма Z, скупающая проблемные долги, предложила господину Х продать его депозит в банке Y за 13 д.е. Пойдет ли г-н Х на такую сделку? Изменится ли ваш ответ, если г-ну Х предложат 26 д.е.?

(б) Проиллюстрируйте ваш ответ на пункт (а) в пространстве контингентных благ:

(1) определите контингентные блага;

(2) изобразите кривые безразличия г-на Х и укажите их наклон;

(3) отметьте на рисунке точки, соответствующие случаям, когда г-н Х продает свой актив и отказывается от сделки.

6. Две подруги Анна и Мария, предпочтения которых могут быть описаны элементарными функциями полезности вида и , где богатство в тыс. долларов, собираются вложить деньги в инвестиционные проекты, вероятность успеха в которых оценивается, как ¼. Если деньги будут вложены удачно в инвестиционный проект, предлагаемый Анне, то ее состояние составит 256 тыс. долларов, если нет, то ее состояние составит только 36 тыс. долларов. Если деньги будут вложены удачно в инвестиционный проект, предлагаемый Марии, то ее состояние составит 100 тыс. долларов, если нет, то ее состояние составит только 52 тыс. долларов. В настоящее время состояние каждой из подруг оценивается в 64 тыс. долларов.

(а) Будет ли Анна инвестировать средства в проект? Будет ли Мария инвестировать средства в проект? Проиллюстрируйте решение графически в пространстве контингентных благ и в пространстве богатство-полезность.

(б) Предположим, что проекты независимы, и у подруг есть возможность либо объединить свои риски, либо участвовать в индивидуальном инвестиционном проекте. При объединении рисков полученные от инвестиций средства (как выигрыши, так и потери) подруги будут делить пополам, т.е., состояние обеих подруг будет одинаковым. Согласится ли каждая из подруг принять подобные условия и участвовать в проектах, объединив свои богатства?

(в) Какую максимальную сумму будет готова заплатить Мария Анне за то, чтобы подруги участвовали в рисковых проектах совместно? Если Мария заплатит Анне указанную сумму, изменит ли Анна свое решение относительно совместного участия в проектах?

(г) Предположим, что до принятия решения о вложении средств в индивидуальный рисковый проект, каждая из подруг имеет возможность получить информацию о том, будут ли инвестиции успешны или нет, заплатив за эту информацию некоторую сумму денег. Найдите максимальную сумму денег, которую каждая из подруг захочет заплатить за информацию. Проиллюстрируйте решение графически в пространстве контингентных благ.

7. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида – рискофоба, предпочтения которого описываются функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности. Пусть цена единицы страховки превышает вероятность наступления страхового случая . Покажите, что в этой ситуации индивид не будет покупать полную страховку, а застрахуется на сумму, меньшую потерь, т.е. выберет страховое покрытие . Приведите графическую иллюстрацию в пространстве контингентных благ.

8. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида, обладающего богатством тыс. Предположим, с вероятностью может произойти несчастный случай, в результате которого индивид потеряет часть этого богатства, а именно, тыс. Индивид имеет возможность приобрести страховку по цене за единицу страхового покрытия. Предпочтения индивида описываются функцией ожидаемой полезности с элементарной функцией полезности .

(а) Какое количество страховки приобретет данный индивид?

(б) Как изменится ваш ответ на пункт (а), если цена единицы страховки составит ?

(в) Опишите задачу выбора оптимальной величины страховки в терминах контингентных (обусловленных) благ.

• Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.
• Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.
• Изобразите на графике оптимальную точку при и .

(г) Предположим теперь, что индивид нейтрален к риску. На какую сумму застрахуется данный индивид при ? Изобразите решение графически.

9. Рассмотрите модель спроса на страховку для индивида, обладающего богатством д.е. Предположим, с вероятностью может произойти несчастный случай, в результате которого индивид потеряет часть этого богатства, а именно д.е. Индивид имеет возможность приобрести страховку по цене за единицу страхового покрытия у нейтральной к риску страховой компании, не имеющей операционных издержек, причем страхование на сумму, превышающую потери, запрещено. Элементарная функция полезности индивида имеет вид .

(а) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели. Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.

(б) При каких значениях индивид страхуется полностью? Приведите иллюстрацию в пространстве контингентных благ.

(в) Существуют ли значения такие, что индивид откажется от страховки? Если да, то найдите все такие значения. Если нет, то аргументируйте почему. Проиллюстрируйте свой ответ в пространстве контингентных благ.

10. Рассмотрите индивида-рискофоба, который решает, как ему распределить свое богатство руб. между двумя активами. Первый актив – безрисковый: вложив 1 в этот актив, индивид получит 4. Вложив 1 во второй актив – рисковый, можно получить с вероятностью , , и в противном случае, причем . Пусть предпочтения индивида представимы функцией ожидаемой полезности с дифференцируемой элементарной функцией полезности.

(а) Выпишите задачу максимизации ожидаемой полезности индивида и условия первого порядка.

В пунктах (б)-(в) считайте, что индивид предъявляет положительный спрос на оба актива.

(б) Как изменится спрос на безрисковый актив при малом увеличении параметра ? Проинтерпретируйте полученный результат.

(в) Как изменится спрос на рисковый актив при малом увеличении вероятности ? Проинтерпретируйте полученный результат.

(г) Опишите задачу выбора оптимального портфеля в терминах контингентных (обусловленных) благ:

• Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.
• Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.
• Приведите графическую иллюстрацию условия , изобразив на одном рисунке бюджетное ограничение и кривые безразличия индивида.

(д) Предположим теперь, что индивид нейтрален к риску. Найдите оптимальную величину вложений в рисковый и безрисковый активы. Приведите графическую иллюстрацию.

11. Вы располагаете богатством 500 д.е. Ваш приятель хочет открыть свой магазин и просит у Вас вложить в его бизнес некоторую сумму денег. В замен он обещает, что Вы станете совладельцем. Тогда, если торговля будет успешной, то с каждого вложенного Вами рубля Вы получите 4 д.е. Но если магазин прогорит, то Вы потеряете свои деньги. Изучая статистику Вы поняли, что вероятность успеха равна 2/5. Ваша элементарная функция полезности имеет вид: .

(а) Предположим, Ваш приятель просит у Вас вложить в магазин 200 д.е. Согласитесь ли Вы с предложением приятеля?

(б) Выпишите условие, характеризующее максимальную сумму денег, которую Вы готовы вложить в магазин.

(в) Предположим, что Ваш приятель просит у Вас не определенную сумму, а предлагает Вам самому решить, сколько вложить, чтобы стать совладельцем. Какую сумму Вы дадите?

(г) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.

(д) Выведите бюджетное ограничение в терминах контингентных благ и изобразите графически.

(е) Изобразите на графике Ваш оптимальный выбор.

(ж) Предположим теперь, что Вы нейтральны к риску. Каков будет Ваш оптимальный выбор в этом случае? Приведите графическую иллюстрацию.

12. Рассмотрите налогоплательщика, имеющего доход равный , который должен подать декларацию о доходах в налоговую инспекцию. Обозначим через ставку подоходного налога (). Налогоплательщик может указать в налоговой декларации сумму, меньшую его фактического дохода, но не может указать сумму, превышающую его фактический доход. Если налоговая инспекция проведет проверку и выявит уклонение от налогов, то налогоплательщик будет вынужден не только выплатить налоги на незадекларированный доход (обозначим его через ), но и заплатить штраф по ставке с каждого доллара незадекларированного дохода, причем . Пусть вероятность проведения проверки поданной декларации равна , , и если она проводится, то гарантировано выявляется фактический доход налогоплательщика.

Считайте, что налогоплательщик – рискофоб, имеющий предпочтения, не зависящие от состояния, и представимые функцией ожидаемой полезности.

(а) Определите состояния природы и соответствующие контингентные блага в данной модели.

(б) Выпишите задачу налогоплательщика, из которой определяется оптимальная величина декларируемого дохода и условия, характеризующие внутреннее решение.

(в) Покажите, что условие является необходимым и достаточным условием того, что налогоплательщик будет занижать свой фактический доход в налоговой декларации.

Далее считайте, что условие, приведенное в п. (в) выполнено.

(г) Как изменится величина недекларируемого дохода при малом увеличении штрафа ?

(д) Выведите бюджетное ограничение в терминах теории контингентных благ и изобразите графически.

(е) Приведите графическую иллюстрацию условия, приведенного в п. (в), изобразив на одном рисунке бюджетное ограничение и кривые безразличия индивида.

(ж) Предположим теперь, что налогоплательщик нейтрален к риску. Будет ли он уклоняться от уплаты налогов? Изобразите решение графически.

13. * Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя потребителями (А и В) и двумя состояниями мира (1 и 2). Пусть первоначальные запасы потребителей описываются векторами , , где . Пусть потребитель А считает первое состояние мира более вероятным, т.е. . Предположим также, что потребители являются рискофобами с предпочтениями представимыми функцией ожидаемей полезности с дифференцируемыми элементарными функциями полезности, не зависящими от состояния.

(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных распределениях уровень потребления каждого потребителя будет выше в том состоянии мира, которое он считает более вероятным.

(б) Будет ли верен результат пункта (а), если потребитель А нейтрален к риску?

14. * Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя потребителями (А и В) и двумя состояниями мира (1 и 2). Пусть первоначальные запасы потребителей описываются векторами , , где . Потребители одинаково оценивают вероятности наступления обоих состояний мира. Предположим также, что потребители являются рискофобами с предпочтениями представимыми функцией ожидаемей полезности с дифференцируемыми элементарными функциями полезности, не зависящими от состояния.

(а) Покажите, что во всех внутренних Парето-оптимальных распределениях потребители будут полностью застрахованы от риска (т.е. для любого потребителя ), пользуясь дифференциальной характеристикой внутреннего Парето-оптимума.

(б) Приведите альтернативное доказательство утверждения из пункта (а): покажите, что для любого допустимого внутреннего распределения такого, что , можно построить Парето-улучшение.

(в) Покажите, что во внутреннем равновесии Эрроу-Дебре равновесное отношение цен равно отношению вероятностей наступления соответствующих состояний мира.

(г) Предположим теперь, что потребитель А нейтрален к риску, а все остальные условия задачи остаются неизменными. Будет ли потребитель В по-прежнему полностью застрахован от риска в любом внутреннем Парето-оптимальном распределении?

15. * Рассмотрите экономику обмена с одним физическим благом, двумя состояниями мира (1 и 2) и тремя потребителями (A, B и С). Запасы физического блага у потребителей в состояниях мира 1 и 2, соответственно, составляют , , . Предпочтения всех потребителей представимы функцией ожидаемой полезности с возрастающими элементарными функциями полезности, причем элементарная функция полезности потребителя С имеет вид: . Потребитель С считает, что первое состояние мира наступит с вероятностью . Известно, что в равновесии Эрроу-Дебре и . Найдите недостающие параметры равновесия.

Раздел 3. Теория поведения производителя (фирмы)

1. Пусть фирма занимается производством столов из ножек и столешниц. Если для производства одного стола требуется одна столешница и четыре ножки, то какой вид имеет производственная функция данной фирмы? Изобразите изокванты.

2. Пусть производственная функция имеет вид , где . При каких значениях параметров данная технология характеризуется убывающей, постоянной и возрастающей отдачей от масштаба?

3. Пусть технология фирмы описывается производственной функцией Кобба-Дугласа вида , где , .

(а) Выпишите задачу фирмы в краткосрочном периоде, считая первый фактор фиксированным. Найдите спрос на первый фактор и предложение фирмы.

(б) Выпишите задачу максимизации прибыли и условия, характеризующее ее решение. Найдите функции спроса на факторы производства и функцию предложения фирмы.

(в) Покажите, что в пункте (б) доля расходов на каждый фактор производства постоянна.

(г) Воспользовавшись результатом пункта (б), объясните, что происходит с функцией предложения в случае .

(д) Что можно сказать о решении задачи максимизации прибыли в случае ?

4. Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора производства, согласно производственной функции . Выпишите задачу максимизации прибыли фирмы; найдите спрос на оба фактора производства и предложение готовой продукции.

5. Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора производства, согласно производственной функции .

(а) Верно ли, что производственная функция описывает ту же технологию?

(б) Изобразите изокванту, соответствующую уровню выпуска .

(в) Пусть цена готовой продукции равна , а цены факторов составляют и . Выпишите задачу максимизации прибыли фирмы; найдите спрос на оба фактора производства и предложение готовой продукции.

6. Пусть технология фирмы описывается производственной функцией . Будем считать, что производственная функция фирмы характеризуются убывающим предельным продуктом каждого фактора. Пусть в краткосрочном периоде второй фактор фиксирован.

(а) Выпишите задачу максимизации прибыли и условия, характеризующие ее решение. Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Предположим, правительство ввело потоварный налог на каждую единицу первого фактора, используемую фирмой. Как изменится объем использования первого фактора, предложение готовой продукции и прибыль фирмы в результате введения налога? Приведите графическую иллюстрацию.

7. Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя два фактора производства, труд и капитал согласно производственной функции . Покажите, что спрос на труд не возрастает при увеличении ставки заработной платы. (В задаче не предполагается дифференцируемость производственной функции.)

8. Пусть при ценах фирма выпускала 16 единиц готовой продукции, затрачивая факторы производства в количестве . Затем цены изменились, и при новых ценах фирма произвела 13 единиц готовой продукции, затратив факторы в количестве . Совместимы ли подобные наблюдения с максимизацией прибыли?

9. Докажите не пользуясь дифференцированием, что выручка максимизирующей прибыль фирмы не возрастет при пропорциональном увеличении цен всех факторов производства.

10. Рассмотрите фирму, которая производит готовую продукцию, используя единственный фактор производства. При цене выпуска и цене фактора объем спроса фирмы на фактор составил и объем выпуска составил , а при ценах и фирма выбрала и . На рисунках изображены соответствующие изопрофиты. В каком/каких из следующих случаев поведение фирмы не согласуется с максимизацией прибыли?

11. Пусть производственная функция фирмы имеет вид . В каждом из следующих случаев

(i) .

(ii) .

(iii) .

(а) Вычислите минимальные издержки производства выпуска при ценах факторов . Приведите графическую иллюстрацию.

(б) Найдите функции условного спроса на факторы производства, и функцию издержек фирмы.

12. Верно ли,что если технология характеризуется постоянной отдачей от масштаба, то функция издержек линейна по выпуску? Что можно сказать в этом случае о средних издержках?

13. Пусть при ценах фирма использовала следующие объемы факторов производства для производства 100 единиц готовой продукции. Затем цены изменились, и при новых ценах фирма производила 100 единиц готовой продукции, затратив факторы в количестве . Совместимо ли подобное поведение фирмы с минимизацией издержек?

14. Пусть фирма владеет двумя заводами по производству некоторого товара. На первом заводе продукция производится в соответствии с функцией издержек , а на втором – в соответствии с функцией издержек . Найдите функцию издержек фирмы.

15. Рассмотрите фирму, минимизирующую издержки, которая производит готовую продукцию с помощью двух факторов производства (труда и капитала). Предположим, что заработная плата, возросла, и фирма на это отреагировала изменением спроса на факторы производства, но сохранила выпуск постоянным. Что произойдет с объемом труда, используемым фирмой?

16. Пусть функция издержек фирмы в долгосрочном периоде (при фиксированных ценах факторов производства) имеет вид: , если , и , где – это затраты фирмы на вход в отрасль (например, на покупку лицензии).

(а) Найдите средние и предельные издержки фирмы и приведите графическую иллюстрацию.

(б) Найдите функцию предложения фирмы и приведите графическую иллюстрацию.