Задача Коши. Метод Эйлера
Одношаговые методы решения задачи Коши
Содержание
8.1. Задача Коши. Метод Эйлера. 2
8.2. Неявный метод Эйлера. 5
8.3. Погрешности метода решения. 6
8.4. Модифицированные методы Эйлера. 8
8.5. Правило Рунге. 9
8.6. Методы Рунге-Кутта. 11
8.7. Метод Рунге-Кутта-Фельберга. 13
Упражнения. 13
Вопросы для повторения. 14
Задача Коши или начальная задача состоит в нахождении решения дифференциального уравнения при заданном начальном условии: (8.1) Пусть – некоторый прямоугольник в плоскости с центром в точке . Определение. Функция удовлетворяет в прямоугольнике условию Липшица по переменной , если в этом прямоугольнике , (8.2) где L – постоянная, не зависящая ни от , ни от . Теорема Коши. Пусть в уравнении функция в прямоугольнике непрерывна и удовлетворяет условию Липшица по переменной у. Тогда на отрезке , существует единственное решение начальной задачи . При этом предполагается, что на отрезке кривая не выходит за пределы прямоугольника . Метод Эйлера состоит в том, что интегральная кривая, являющаяся решением задачи, приближенно заменяется некоторой ломаной линией – ломаной Эйлера. Пусть требуется найти решение задачи Коши на отрезке . Разобьем отрезок на n частей точками ; иными словами введем на отрезке сетку точек: . Будем искать приближенное решение задачи в узлах сетки. Введем обозначения: – приближенные значения решения в узлах сетки; ; – шаг приращения аргумента – шаг сетки; – максимальное значение шага (в частном случае сетка может быть равномерной ). Метод Эйлера описывается формулой (8.3) На каждом шаге истинная интегральная кривая заменяется отрезком касательной. Получаем в итоге линию, называемую ломаной Эйлера. Из теории дифференциальных уравнений известно утверждение: начальная задача (8.1) эквивалентна интегральному уравнению (8.4) При решении начальной задачи на отрезке от до интегральное равнение (8.4) принимает вид: , – (8.5) и требуется приближенно описать интеграл на отрезке . Иначе метод Эйлера можно получить, разложив решение в ряд Тейлора и ограничившись только линейными слагаемыми ряда: (8.6) Пример 8.1. Ломаная Эйлера для решения задачи Коши: – показана на рис.8.2. Сформулируем задачу Коши для системы уравнений. Система уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных (8.7) называется нормальной системой. Введя векторные функции , , можно записать систему (8.7) в векторной форме . (8.8) Задача Коши состоит в решении системы дифференциальных уравнений (8.8) при заданном начальном условии . Пример 8.2. Найдем решение задачи Коши: Эта задача легко решается аналитически. Можно также найти решение в среде Matematica, выполнив команду: In[]:= DSolve[{y'[x]==-3 y[x]+z[x], z'[x]==y[x]-3 z[x], y[0]==1, z[0]==3}, {y[x], z[x]}, x]//Expand Получаемый ответ: Out[]= . Решение методом Эйлера в среде Mathcad дано на рис. 8.3. Уравнения интегрируются на отрезке . Шаг приращения аргумента выбирается равным , где – число точек на отрезке. Так же, как и в примере 8.1 метод Эйлера записывается в векторной форме. В результате расчетов получаем матрицу, первая строка которой дает приращение , вторая дает значения и третья – значения . На графиках показаны ломаные Эйлера и истинные интегральные кривые. Если уменьшить шаг приращения аргумента, например, положить , то погрешность решения уменьшается. И наоборот, если положить (), то погрешность значительно увеличивается: процесс, описываемый приближенным решением, становится, вообще, немонотонным.
Уравнение n -го порядка, разрешенное относительно старшей производной, имеет вид: (8.9) Такое уравнение легко свести к нормальной системе. Для этого введем обозначения: . (8.10) Получим в результате систему уравнений первого порядка для неизвестных . Пример 8.3 Частный случай уравнения колебаний имеет вид: , где a – коэффициент затухания. Зададим начальные условия: . Решение данной задачи Коши представляет собой затухающую косинусоиду. Преобразуем уравнение к нормальной системе уравнений: . На рис. 8.4 показано решение методом Эйлера в системе Mathcad. В матрице Y строка Y0 включает значения независимой переменной, строка Y1 содержит значения V, строка Y2 включает значения Z.
|