Модифицированные методы Эйлера

Представим точное решение дифференциального уравнения , проходящее через точку , в виде ряда Тейлора:

(8.17)

Запишем приближенное решение в виде:

(8.18)

Подберем такую функцию Ф, чтобы было равно сумме первых трех слагаемых в формуле (8.17). Будем искать функцию Ф в виде:

,

где – пока неизвестные коэффициенты.

Разложим функцию Ф в ряд по степеням h:

(8.19)

где по-прежнему .

Из сравнения (8.17) и (8.19) с учетом (8.18) следует, что коэффициенты должны удовлетворять соотношениям:

(8.20)

1) Положив , т.е. , получим первый модифицированный метод Эйлера:

(8.21)

Произведение, стоящее в правой части формулы (8.21), имеет вид формулы прямоугольников для вычисления интегралов (см. рис. 8.2). Отличие от квадратурной формулы прямоугольников состоит в том, что нам неизвестно точное значение функции f в середине отрезка интегрирования .

2) Положив , т.е. , получим второй модифицированный метод Эйлера:

(8.22)

Произведение, стоящее в правой части формулы (8.22), похоже на квадратурную формулу трапеций. Отличие от формулы трапеций состоит в том, что нам неизвестно точное значение функции f в точке .

 

Пример 8.6. Найдем решение начальной задачи:

, –

двумя методами: методом Эйлера и вторым модифицированным методом Эйлера. Проведем только один шаг решения, т.е. найдем . Сравним результаты вычислений с точным решением.

Точное решение легко может быть найдено аналитически, либо может быть найдено в среде Mathematica выполнением команды:

In[]:= DSolve[ {y'[x]==x+y[x], y[1]==1}, y[x], x]//Expand

Точное решение равно: и .

Решение методом Эйлера: .

Решение вторым модифицированным методом Эйлера:

.

Видим, что решение модифицированным методом ближе к точному решению.

Пример 8.7. Найдем решение начальной задачи:

.

В примере 8.2 эта задача решена методом Эйлера. Получены значения: . Точное решение этой задачи равно:

Найдем теперь решение первым модифицированным методом. Проведем только один шаг решения, т.е. найдем .

.

.

Видим, что решение модифицированным методом существенно точнее, чем решение простым методом Эйлера.