Погрешности метода решения

 

Рассмотрим более подробно погрешности, возникающие при решении задачи Коши приближенными методами. Эти погрешности называют ошибками метода решения или ошибками дискретизации.

Локальная ошибка – ошибка, сделанная на одном шаге приращения аргумента, при условии, что предыдущие значения точны.

Обозначим: u_n(t) – точное решение уравнения при условии . Как и прежде y_n обозначает приближенное решение уравнения в точке t_n. Локальная ошибка, сделанная на n-ом шаге, равна

. (8.13)

Глобальная ошибка дискретизации равна

. (8.14)

Глобальная ошибка – это ошибка, накопленная за n шагов. В общем случае глобальная ошибка может быть как больше, так и меньше суммы локальных.

На рис. 8.4 показаны глобальные и локальные ошибки в случае решения методом Эйлера начальной задачи:

.

Точное решение этой задачи представляет собой экспоненциальную функцию: . Это точное решение показано на рисунке верхней линией. Нижняя ломаная линия представляет собой ломаную Эйлера. Видно, что в данном случае глобальная погрешность больше суммы локальных: .

Если изменить знак коэффициента , получим затухающее решение. В этом случае будет справедливо обратное соотношение: .

В частном случае вырожденного дифференциального уравнения , у которого правая часть уравнения не зависит от y, глобальная ошибка равна сумме локальных:

.

Определение. Метод имеет порядок p, если существует положительное число такое, что

. (8.15)

Число C зависит от производных функции , определяющей правую часть дифференциального уравнения, и может зависеть также от длины интервала, на котором ищется решение. Но это число не должно зависеть от номера шага n и величины шага h_n.

Неравенство может быть записано более компактно:

. (8.16)

Порядок метода Эйлера равен p=1, так что уменьшение средней длины шага в 2 раза уменьшит среднюю локальную ошибку в 4 раза. Но на том же отрезке интегрирования уравнения потребуется приблизительно вдвое больше шагов. Поэтому глобальная ошибка уменьшится лишь примерно в два раза.