Неявный метод Эйлера
Как и прежде рассматриваем задачу Коши:
Неявный метод Эйлера описывается формулой:
где Неявный метод Эйлера может быть получен из интегрального уравнения (8.5):
если подынтегральную функцию заменить константой Пример 8.10. Найдем решение начальной задачи:
неявным методом Эйлера. Неявный метод для данного уравнения описывается формулой:
Отсюда
Пример 8.11. Найдем неявным методом Эйлера решение начальной задачи:
В примере 8.2 эта задача была решена явным методом Эйлера. Неявный метод описывается формулами:
Решив эту систему линейных алгебраических уравнений, получим:
Из сравнения с рис.8.2 видим, что неявный метод для данной задачи оказывается более точным.
|
.
, (8.11)
. Как видим, в отличие от обычного, явного метода Эйлера искомая величина 
входит также и в правую часть уравнения (8.11). Поэтому на каждом шаге приращения аргумента необходимо решать уравнение относительно 
, –
.
, –
.
и 
.
.
или 
(8.12)
показано на рис. 8.6. Итерационный процесс в соответствии с формулами (8.12) записан в векторной форме. Шаг приращения аргумента полагается равным 
, где 
– число точек на отрезке интегрирования. Окончательная матрица 
содержит в первой строке значения 
, во второй и третьей строках – приближенные значения 
и 
, в четвертой и пятой строках – точные решения 
.
