Решим систему по формулам Крамера.

Найдём определитель системы, используя формулы (2) и (1):

Так как система имеет единственное решение, которое находим по формулам Крамера (5):

 

Итак,

Сделаем проверку, подставив найденные значения х ₁, х ₂, х ₃ в исходную систему, и убедимся, что все три уравнения данной системы обращаются в тождества:

Ответ: х ₁ = –1, х ₂ = –1, х ₃ =1.

Элементы векторной алгебры в R ₃

Трехмерное векторное пространство R ₃ есть частный случай R_n при
n = 3. Декартов прямоугольный базис в R ₃ образуют три единичных, взаимно перпендикулярных вектора

Совокупность начала координат (точки О) и декартова прямоугольного базиса называется декартовой прямоугольной системой координат Oxyz.

Согласно формуле (9) любой вектор в R ₃ можно разложить единственным образом по т. е. представить в виде:

где а_х — координата вектора по оси ОХ;

а_у — координата вектора по оси ОY;

а_z — координата вектора по оси ОZ.

Наряду с аналитическим заданием вектора как упорядоченной тройки чисел в R ₃ рассматривают вектор как направленный отрезок, имеющий начало и конец. Конец вектора отмечается стрелкой.

А — начало вектора,

В — конец вектора.

Длина отрезка АВ называется модулем вектора и обозначается или .

Если известны координаты вектора то модуль вектора вычисляется по формуле:

(10)

Радиусом-вектором точки в декартовой прямоугольной системе координат называется вектор, начало которого расположено в начале координат, а конец в данной точке А, т. е. вектор

Координатами точки А называются координаты её радиуса-вектора. Если то координаты точки А.

Пусть вектор причём заданы координаты точек А и В: и Тогда координаты вектора равны разности одноимённых координат конца и начала:

(11)

Из (10) и (11) следует формула для расстояния между двумя точками А и В:

(12)

Скалярным произведением векторов и называется число (скаляр), обозначаемое , равное произведению модулей векторов на косинус угла между ними:

(13)

где j — угол между векторами и .

В декартовой прямоугольной системе координат скалярное произведение векторов вычисляется по формуле:

(14)

— координаты вектора ;

— координаты вектора .

Из (13) и (14) получается формула для вычисления косинуса угла между двумя векторами:

(15)

Векторы и называются ортогональными (обозначаются если угол j между ними равен прямому, т. е. cosj = 0. Условие ортогональности векторов:

(16)

Упорядоченная тройка векторов называется правой, если
из конца третьего вектора кратчайший поворот от первого вектора
ко второму виден происходящим против часовой стрелки и называется левой, если такой поворот происходит по часовой стрелке.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор такой что:

1) т. е. перпендикулярен плоскости векторов и

2) направлен так, что тройка — правая;

3) модуль вектора равен площади параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах, т. е.

(17)

Если то для векторного произведения справедлива формула:

(18)

Смешанным произведением упорядоченной тройки векторов называется число (обозначаемое ()), равное скалярному произведению векторного произведения первых двух векторов на третий:

Смешанное произведение векторов по абсолютной величине равно объему параллелепипеда , построенного на этих векторах как на сторонах, т. е.

(19)

Если то справедлива формула:

(20)

Векторы и называются коллинеарными, если они лежат на одной или параллельных прямых. Условие коллинеарности векторов и :

1) в векторной форме где l — скаляр;

2) в координатной форме (21)

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или параллельных плоскостях. Условие компланарности трёх векторов :

1) в векторной форме: где l, m — числа;

2) в координатной форме: (22)

Пример 3. Даны координаты вершин треугольной пирамиды:
А ₁ (–1, 0, 1), А ₂ (2, 3, 1), А ₃ (0, –2, 2), А ₄ (1, –1, 5).

Требуется найти:

а) длину ребра А ₁ А ₂;

б) угол между ребрами А ₁ А ₂ и А ₁ А ₃;

j

в) площадь грани А ₁ А ₂ А ₃;

Рис. 1

г) объём пирамиды.

 

 

а) Используем формулы (11) и (12).

Определим координаты вектора:

Ребро

б) Угол между рёбрами А ₁ А ₂ и А ₁ А ₃ рассматриваем как угол между векторами

Найдём координаты и длину вектора

По формуле (15) для косинуса угла между двумя векторами получим:

в) Грань А ₁ А ₂ А ₃ есть треугольник, площадь которого равна половине площади параллелограмма А ₁ А ₂ А ₆ А ₃, построенного на векторах
и . По формуле (17):

Вычислим векторное произведение векторов и по формуле (18):

г) Объём треугольной пирамиды равен 1/6 объёма параллелепипеда , построенного на векторах , , как на сторонах. Из свойств смешанного произведения следует, что:

и следовательно,

Определим координаты вектора

По формуле (20) имеем

Элементы аналитической геометрии в R ₃

Направляющим вектором прямой называется любой вектор , лежащий на этой прямой или ей параллельной и отличный от нуль-вектора, т. е. и

М (х, у, z)

Канонические уравнения прямой, проходящей через данную точку М ₀ с данным направляющим вектором , имеют вид:

(23)

где (x, y, z) — координаты текущей точки прямой; (x ₀, y ₀, z ₀) — координаты данной точки на прямой; (m, n, p) — координаты направляющего вектора прямой.

Если на прямой заданы две точки М ₁(x ₁, y ₁, z ₁) и М ₂(x ₂, y ₂, z ₂), то в качестве направляющего вектора прямой можно взять вектор :

Рассматривая в качестве данной точки точку М ₁ и используя уравнение (23), получим уравнения прямой, проходящей через две данные точки:

(24)

Пусть прямая l ₁ имеет направляющий вектор и прямая l ₂ — направляющий вектор .

Угол j между прямыми l ₁ и l ₂ определяется как угол между их направляющими векторами и , по формуле (15) получаем:

, если т. е. по условию коллинеарности (21)

Критерий перпендикулярности прямых <=> Тогда по условию ортогональности векторов (16)

Нормальным вектором плоскости (П) называется любой вектор , перпендикулярный к плоскости и отличный от нуль-вектора:
и

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М ₀ плоскости и имеющей данный нормальный вектор , имеет вид:

(25)

где А, В, С — координаты нормального вектора ;

x ₀, y ₀, z ₀ — координаты данной точки плоскости;

x, y, z — координаты текущей точки плоскости.

Если в уравнении (25) раскрыть скобки, то его можно записать в виде

(26)

Уравнение (26) называется общим уравнением плоскости.

Три точки М ₁(x ₁, y ₁, z ₁), М ₂(x ₂, y ₂, z ₂) и М ₃(x ₃, y ₃, z ₃) (не лежащие на одной прямой) определяют плос­кость в R ₃. Уравнение такой плоскости можно получить из условия компланарности (22) трёх векторов:

(27)

Здесь x, y, z — координаты текущей точки М;

x ₁, y ₁, z ₁ — координаты данной точки М ₁;

x ₂, y ₂, z ₂ — координаты данной точки М ₂;

x ₃, y ₃, z ₃ — координаты данной точки М ₃.

Пусть плоскость П задана общим уравнением

Расстояние от точки М ₀(x ₀, y ₀, z ₀)
до плоскости П вычисляется по формуле:

(28)

Угол между двумя плоскостями, нормальные векторы которых и , вычисляется по формуле:

Критерий параллельности плоскостей:

Критерий перпендикулярности плоскостей:

Угол между прямой и плоскостью ψ определяется как дополнительный к углу φ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости таким образомψ=90⁰-φ и получаем:

. (29)

Пример 3 (продолжение). Даны координаты вершин треугольной пирамиды
А ₁ (–1, 0, 1), А ₂ (2, 3, 1), А ₃ (0, –2, 2), А ₄ (1, –1, 5). Продолжение задания 5 пункты д—з.

Требуется найти:

д) канонические уравнения прямой А ₁ А ₄;

е) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃;

ж) угол между ребром А ₁ А ₄ и гранью А ₁ А ₂ А ₃;

з) уравнение высоты, опущенной из вершины А ₄ на грань А ₁ А ₂ А ₃.

Решение:

д) Для нахождения канонических уравнений прямой А ₁ А ₄ используем уравнение (24) прямой, проходящей через две точки А ₁ (–1, 0,1) и А ₄ (1,–1, 5):

А ₁ А ₄: или

е) уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃ получим, используя уравнение плоскости, проходящей через три данные точки А ₁ (–1, 0, 1),
А ₂ (2, 3, 1), А ₃ (0, –2, 2) формула (27):

или

Раскладывая определитель по элементам первой строки, получим:

Делим все члены уравнения на 3 и раскрываем скобки:

Окончательно уравнение плоскости А ₁ А ₂ А ₃ имеет вид:

ж) угол между ребром А ₁ А ₄ и гранью А ₁ А ₂ А ₃ найдём как угол между прямой А ₁ А ₄ и плоскостью А ₁ А ₂ А ₃ по формуле (29). Уравнение прямой получено в пункте д) и имеет вид

Координаты направляющего вектора – это числа в знаменателях, следовательно: Уравнение плоскости получено в пункте е) и имеет вид Следовательно, нормальный вектор плоскости имеет координаты равные коэффициентам при х, у, z в уравнении плоскости, т. е.

Используем формулу (29):

з) Уравнение высоты пирамиды получим как уравнение прямой А ₄ А ₅ (рис. 1). Поскольку высота перпендикулярна плоскости А ₁ А ₂ А ₃, заданной уравнением то вектор нормали к плоскости параллелен высоте и может быть использован в качестве направляющего вектора прямой А ₄ А ₅. Подставляя в формулу (23) координаты точки А ₄ (1, –1, 5) и координаты направляющего вектора прямой получим канонические уравнения прямой А ₄ А ₅: