Студопедия — Краткие сведения из теории пределов функции
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Краткие сведения из теории пределов функции






Число А называют пределом функции f (x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от e, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Функция a(x) называется бесконечно малой (б.м.ф.) при ( если

Функция f (x) называется бесконечно большой (б.б.ф.) при , ( если для любого M >0 найдётся число зависящее от М, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , будет верно неравенство

Если a(x) есть б. м.ф. при (или то функция

является б. б., и обратно, если f (x) б.б.ф. при , то является б.м.ф.

Если и б.м.ф. при (), то чтобы сравнить их, нужно вычислить предел их отношения. Пусть Тогда:

при называется б.м. более высокого порядка малости, чем ;

при и одного порядка малости;

при более низкого порядка малости, чем .

Если , то б.м.ф. и называются эквивалентными:

Предел отношения двух б.м.ф. не изменится, если каждую б.м.ф. заменить на эквивалентную.

Примеры эквивалентных б.м.ф. при

Теоремы о пределах:

1. (c =const).

2. Если то:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

или

Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х = х 0 принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х = х 0. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

если если a >1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Устранить неопределенность можно с помощью алгебраических преобразований или используя правило Лопиталя.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б. функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

(5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).

Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

при а) б)

Решение.

а)

б) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

т. к.

Аналогично:

Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

Замечание. Если, применив правило Лопиталя, снова получили неопределенность или , то снова применяем правило до тех пор, пока неопределённость не будет раскрыта.

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 654. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Композиция из абстрактных геометрических фигур Данная композиция состоит из линий, штриховки, абстрактных геометрических форм...

Важнейшие способы обработки и анализа рядов динамики Не во всех случаях эмпирические данные рядов динамики позволяют определить тенденцию изменения явления во времени...

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА Статика является частью теоретической механики, изучающей условия, при ко­торых тело находится под действием заданной системы сил...

Теория усилителей. Схема Основная масса современных аналоговых и аналого-цифровых электронных устройств выполняется на специализированных микросхемах...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Факторы, влияющие на степень электролитической диссоциации Степень диссоциации зависит от природы электролита и растворителя, концентрации раствора, температуры, присутствия одноименного иона и других факторов...

Йодометрия. Характеристика метода Метод йодометрии основан на ОВ-реакциях, связанных с превращением I2 в ионы I- и обратно...

Билет №7 (1 вопрос) Язык как средство общения и форма существования национальной культуры. Русский литературный язык как нормированная и обработанная форма общенародного языка Важнейшая функция языка - коммуникативная функция, т.е. функция общения Язык представлен в двух своих разновидностях...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия