Краткие сведения из теории пределов функции

Число А называют пределом функции f (x) при (и пишут ), если для любого найдется число зависящее от e, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство

Функция a(x) называется бесконечно малой (б.м.ф.) при ( если

Функция f (x) называется бесконечно большой (б.б.ф.) при , ( если для любого M >0 найдётся число зависящее от М, такое, что для всех , удовлетворяющих условию , будет верно неравенство

Если a(x) есть б. м.ф. при (или то функция

является б. б., и обратно, если f (x) б.б.ф. при , то является б.м.ф.

Если и б.м.ф. при (), то чтобы сравнить их, нужно вычислить предел их отношения. Пусть Тогда:

при называется б.м. более высокого порядка малости, чем ;

при и одного порядка малости;

при более низкого порядка малости, чем .

Если , то б.м.ф. и называются эквивалентными:

Предел отношения двух б.м.ф. не изменится, если каждую б.м.ф. заменить на эквивалентную.

Примеры эквивалентных б.м.ф. при

Теоремы о пределах:

1. (c =const).

2. Если то:

Первый замечательный предел:

Второй замечательный предел (число е = 2,718…):

или

Чтобы найти предел элементарной функции нужно предельное значение аргумента подставить в функцию и посчитать. При этом, если х = х ₀ принадлежит области определения функции, то значение предела будет найдено, оно равно значению функции в точке х = х ₀. При вычислении пределов полезно использовать следующие соотношения. Если то, учитывая свойства б.б. и б.м. функций, получим:

если если a >1.

Случаи, в которых подстановка предельного значения аргумента
в функцию не дает значения предела, называют неопределенностями;
к ним относятся неопределенности видов:

Устранить неопределенность можно с помощью алгебраических преобразований или используя правило Лопиталя.

Правило Лопиталя. Предел отношения двух б.м. или б.б. функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному), если последний существует:

(5)

Чтобы использовать правило Лопиталя для раскрытия неопределённостей других типов, выражение под знаком предела следует преобразовать элементарными способами так, чтобы получить неопределенность или и затем использовать формулу (5).

Задание 7. Найти пределы, используя правило Лопиталя или элементарные способы раскрытия неопределённостей:

при а) б)

Решение.

а)

б) Подставляя в функцию вместо х предельное значение , определим предел числителя и знаменателя.

т. к.

Аналогично:

Имеем неопределенность вида . Используем правило Лопиталя:

Замечание. Если, применив правило Лопиталя, снова получили неопределенность или , то снова применяем правило до тех пор, пока неопределённость не будет раскрыта.