Решение. По закону Ома для замкнутой цепи: .

При коротком замыкании цепи внешнее сопротивление R = 0 и , откуда . Тогда или .

6. К источнику тока подключают один раз резистор сопротивле­нием 1 Ом, другой раз — 4 Ом. В обоих случаях на резисторах за одно и то же время выделяется одинаковое количество теплоты. Определить внутреннее сопротивление источника тока.

Дано: R₁= 1 Ом; R₂= 4 Ом; t₁ = t₂ = t, Q_l = Q₂.

Найти: r.

Решение. По закону Ома, .

По закону Джоуля - Ленца, количество теплоты Q, выде­ляемое в проводнике при прохождении тока за время t, равно: .

Так как , то , тогда ;

После математических преобразований получим: ;

; ; ;

; .

7. Сила тока в резисторе линейно возрастает за 4 с от 0 до 8 А. Сопротивление резистора 10 Ом. Определить количество теплоты, выделившееся в резисторе за первые 3 с.

Дано: t₀ = 0; t₁= 4 с; I = 0; 1₁ = 8 A; t₂= 3 с; R = 10 Ом.

Найти: Q.

Решение. По закону Джоуля – Ленца: . (1)

Так как сила тока является функцией времени, то , (2)

где k — коэффициент пропорциональности, численно равный приращению тока в единицу времени: .

Следовательно, . (3)

За первые 3 с выделится количество теплоты, равное

. (4)

Подставляя числовые значения, получим:

.

8. Батарея состоит из пяти последовательно соединенных эле­ментов. ЭДС каждого 1,4 В, внутреннее сопротивление 0,3 Ом. При каком токе полезная мощность батареи равна 8 Вт? Определить на­ибольшую полезную мощность батареи.

Дано: ε_i = 1,4 В; r_i = 0,3 Ом; Р_п = 8 Вт; п = 5.

Найти: I, Р_{п mах}.

Решение. Полезная мощность батареи . (1)

Сила тока определяется по закону Ома: . (2)

Здесь — ЭДС, а — внутреннее сопротивление п последовательно соединенных элементов.

Выразим R из (1): и, подставив это выражение в (2), получим

(3)

или . (4)

Преобразуя выражение (4), получим квадратное уравнение относительно I:

.

Решая квадратное уравнение, найдем: .

Подставляя числовые значения, получим:

;

.

Для того чтобы определить наибольшую полезную мощ­ность батареи, найдем зависимость её от внешнего сопротивле­ния. Подставим в уравнение (1) выражение (2): . (5)

Из этой формулы следует, что при постоянных величинах ε_i и r_i мощность является функцией одной переменной — внешнего сопротивления R. Известно, что эта функция имеет максимум, если , следовательно, имеем:

,

или . (6)

Таким образом, задача сводится к отысканию сопротивле­ния внешней цепи. Из решения уравнения (6) следует, что .Подставляя найденное значение R в формулу (5), имеем: .

Производя вычисления, найдем: .

9. Найти значения сил токов на различных участках схемы. Заданы ЭДС источников ε₁ = 1 В, ε₂ = 3 В и сопротивления R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом. Внутренние сопротивления источников не учитывать.

Дано: ε₁ = 1 В, ε₂ = 3 В, R₁ = 1 Ом, R₂ = 2 Ом, R₃ = 3 Ом.

Найти: I₁, I₂, I₃.

Рисунок 5

Также произвольно выберем направления обходов контуров, в данном случае – по часовой стрелке. Запишем первое правило Кирхгофа применительно к узлу А:

I₁ - I₂ + I₃ = 0. (1)

Выберем контуры ε₁ – A – R₃ – B – R₁ – ε₁ , ε₂ – A – R₃ – B – R₂ – ε₂ и запишем для них соответственно второе правило Кирхгофа:

, . (2)

Получаем систему трёх уравнений с тремя неизвестными. Решая её, получаем:

А ,

А.

Отрицательные значения токов означают, что эти токи в действительности направлены противоположно показанному на рисунке 5. Находим I₁:

A.

10. Источники тока с электродвижущими силами 10 В и 4 В включены в цепь, как показано на рисунке. Определить силы токов, текущих через второе и третье сопротивления, если R₁ = R₄ = 2 Ом и R₂ = R₃ = 4 Ом. Сопротивлением источников тока пренебречь.

Дано: ε₁ = 10 В; ε₂ = 4 В; R₁= R₄ = 2 Ом; R₂ = R₃ = 4 Ом.

Найти: I₁ ; I₂ ; I₃.

Решение:

Рисунок 6

По первому правилу Кирхгофа для узла В имеем:

. (1)

По второму правилу Кирхгофа имеем соответственно для контуров AR₁BR₂A, AR₁BR₃A, AR₃BR₄A (см. рис. 6):

(2)

(3)

(4)

Для решения воспользуемся методом Крамера. Для этого в равенства (2) – (4) подставим значения сопротивлений и эдс и уравнения перепишем в следующем виде:

; ;

Искомые значения токов найдем из выражений:

; .

Получим, что I₂ = 0, I₃ = -1 A. Знак ” - “ у значения силы третьего тока свидетельствует о том, что при произвольном выборе направления токов, указанных на рисунке, направление тока было указано противоположно истинному. Третий ток течет от узла В к узлу А.