ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ К КОЛЛОКВИУМУ

1. Какому условию удовлетворяют векторы , если точки А, В, С лежат на некоторой окружности?

2. Что можно сказать о векторах и ,если: а)| + | = | | + | |;

б) | + | = | | – | |; в) | – | = | | + | |?

3. Что можно сказать о векторах и ,если: а)векторы + и – коллинеарны; б) | + | = | – |?

4. Какому условию удовлетворяют векторы и ,если уравнение

+ х = имеет решение?

5. Приведите пример компланарных векторов , , , для которых не существует чисел α и β, удовлетворяющих равенству = α + β ?

6. Дан вектор (р₁,р₂,р₃) в базисе { , , }. Найти координаты вектора в базисе: а) { , , },б) {– , ,– },в) { ,2 ,4 }.

7. Для любых ли векторов , , , где и ,коллинеарные векторы, верно равенство: ( ) = ( ).

8. Найти скалярное произведение векторов (а ₁, а ₂) и (b ₁, b ₂), заданных в базисе { , }? если: а) , | | = | | =3; б) (, ) = α, | | = | | = 1?

9. Существует ли на прямой М ₁ М ₂ такая точка Х, что

(М ₁ М ₂, Х) = (М ₂ М ₁, Х)?

10. Простое отношение точек (АВ, М) = λ. Найти простое отношение точек (ВА,М).

11. Три точки А (х₁,у₁), В (х₂,у₂) С (х,у), заданные своими координатами в аффинной системе координат, лежат на одной прямой. Найти простое отношение (АВ,С).

12. Даны два базиса { , } и {α ,β }. Где α и β – вещественные числа. Какому условию удовлетворяют чисоа α и β, ели данные базисы принадлежат: а) одной ориентации; б) разным ориентациям?

13. Базис { , , } принадлежит правой ориентации векторного пространства. Какой ориентации принадлежит базис: а) { , , };

б) { , }; в) { , , }?

14. Система координат (О, , , )– левая, что можно сказать о системе координат:

а) (О, , , ); б) (О, , , ,); в) (О, , , )?

15. АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D ₁ – куб. Система координат ) – правая. Что можно сказать о системе координат: а) ;

б) (; в) (.

16. В ортонормированном левом базисе даны координаты векторов

(а ₁, а ₂, а ₃), (b₁,b₂,b₃), (с₁,с₂,с₃). Найти смешанное произведение векторов

17. Смешанное произведение векторов = 0, следует ли из этого, что

= ? Если нет, то что можно сказать о векторе ?

18. Смешанное произведение векторов = 5. Чему равно смешанное произведение векторов (α ) (β ) (γ )?

19. Верно ли утверждение, что если , , , то смешанное произведение 0?

20. Если [ ] = , то следует ли из этого, что = ? Если нет, то что можно сказать о векторе ?

21. Векторное произведение [ ] = , чему равно векторное произведение

[(α ) ( β ) ]?

22. Верно ли утверждение, что если , , то [ ] ?

23. Верно ли утверждение, что если [ ] = [ ], = ?

24. Записать формулы преобразования координат при переходе от системы координат (О, ) к системе координат (О′;, ), если направленный угол между векторами и ′;равен30°, О′; (0,-2) и данные системы координат принадлежат разным ориентациям.

25. АВСД – параллелограмм. Составить формулы преобразования координат при переходе от системы координат к системе координат