Матрицы для Е и i

Матрицы, описывающие операции идентичности и инверсии для точки общего положения P (X, Y, Z) очень логичны. В результате операции идентичности все координаты останутся на своих местах,и операции инверсии относительно центра, расположенного в начале координат (0,0,0) переведут точку (X, Y, Z) в положение (- X, -Y, -Z).

 

Матрицы для операцийЕ и I приведены ниже.

 

Последовательные операции симметрии в точечной группе D₂

Теперь у нас есть возможность анализировать эффект от проведения последовательных операций симметрии и с помощью изображений и с помощью использования простых матриц. Одна из наиболее лёгких для понимания систем возникает, когда все важные операции симметрии включают простое вращение.

На Рис. 2.5 показана точка общего положения P (X, Y, Z) в системе Декартовых координат,

Рис. 2.5

где оси С₂ лежат вдоль направлений x, y, z каждая. Совокупность этих эелементов вместе с идентичностью составляет точечную группуD₂.

Вращение относительно x посредством С₂ (x) переведёт Р в положение Q с координатами (X, -Y, -Z), и последующее вращение относительно у с помощью С₂ (у) спроецирует Q в точку S c координатами (- X, -Y, Z).

Если затем мы проведём операцию поворота относительно С₂ (z) к точке S. Мы вернёмся в из начальную позицию Р.

Отдельные операции могут быть записаны как:

C₂ (x)P ® Q, C₂ (y) Q ® S, C₂ (z)S ® P

А полная последовательность операций как:

C₂ (z) * C₂ (y) *C₂ (x)P ® P

Отметим, что первая из проведенных операций, С₂ (x) при записи последовательных операций находится правее всех.

Эти последовательные операции иллюстрируют одну из наиболее важных особенностей точечных групп: результат проведения двух или более последовательных операций может в большинстве случаев получиться независимым применениям другой операции из группы.

В данном случае, результат двух первых операций

C₂ (y) *C₂ (x)P ® S может быть получен при помощи C₂ (z)P ® S,

т.е. C₂ (y) *C₂ (x) = C₂ (z)

Полная последовательность C₂ (z) * C₂ (y) *C₂ (x) эквивалентна Е.