Студопедия — Понятие о представлениях
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Понятие о представлениях






В приведенных выше таблицах умножения для D2 и C2v групп отдельные операции симметрии встречались в виде символов, таких как E, C2 (z) и т.д., однако, таблицы умножения останутся правильными, если вместо использования этих символов мы заменим их на матрицы, которые мы использовали ранее для представления различных операций симметрии.

Тот факт, что мы можем использовать группу матриц для того, чтобы представить операции симметрии лежит в основе общего понятия о представлении как о наборе матриц, которые могут быть расположены в соответствии с операциями симметрии в группе и которые подчиняется тем же условиям, что и элементы таблицы умножения.

В то же время, матрицы, которые определяют судьбу точки P (X, Y, Z) в ранее приведенном примере не уникальны в этой своей способности и не являются простейшим набором матриц, который ведёт себя подобным образом.

Рис. 2.7, на котором показаны элементы симметрии точечной группы C2v можно

Рис. 2.7

использовать для изучения влияния различных операций симметрии на единичный вектор х1. Идентичность Е и операция σ (xz) оставят этот вектор без изменений, а σ (yz) и C2 (z) опменяют его направление на противоположное, что может быть выражено как:

Е (х1) ® (х1), C2 (z) (х1) ® - (х1)

σ (xz) (х1) ® (х1), σ (yz) (х1) ® - (х1).

Далее, мы можем представить коэффициент ы с правой стороны каждого из этих выражений в виде 1 х 1 матрицы (+1), (-1), (+1) и (-1), которая представляют соответствующие операции симметрии подобно тому, как матрица 3 х 3 описывает перемещения точки P (X, Y, Z).

Эти числа также подчиняются правилам, представленным в таблице умножения C2v, как мы можем увмидеть если операции симметрии в группе C2v будут заменены на соответствующие коэффициенты., т.е.

Е= +1 C2 (z)= -1 , σv (xz)= +1 σv' (yz)= -1

 

С2v E C2(z) sv(xz) v(yz)
E   -1   -1
C2(z) -1   -1  
sv(xz)   -1   -1
v(yz) -1   -1  

Эти матрицы1 х 1 также составляют представление, что может быть представлено как

Рис. 2.8
E C2(z) sv(xz) v(yz)
  -1   -1

(обычно знак + игнорируют).

Подобным образом, если мы рассмотрим влияние различных операций симметрии на векторы y1 и z1, мы добавим ещё два представления. Для y1 мы получаем (Рис. 2.8):

Е (y1) ® (y1), C2 (z) (y1) ® - (y1)

σ (xz) (y1)® - (y1), σv' (yz) (y1) ® (y1)

В результате получается такое представление:

E C2(z) sv(xz) v(yz)
  -1 -1  

а для z1 мы получаем (Рис. 2.9) следующее.

Рис. 2.9

 

E C2(z) sv(xz) v(yz)
       

 

Оба этих представления также подчиняются правилу таблиц умножения.

Неприводимые представления более подробное знакомство с таблицами характеров.

Три представления, которые приводились выше возникли в результате использования векторов х1 , y1 и z1 для иллюстрации эффекта, который оказывают различные операции симметрии в точечной группе C2v. Это три представления – наиболее простые представления, которые существуют для этой точечной группы, известны как неприводимые представления.

Векторы, которые привели нас к этому неприводимому представлению, являются примерам базиса и в дальнейшем мы будем говорить, что х1 , y1 и z1 являются базисом неприводимого представления:

  -1   -1;     -1 -1 1; и        

 

Четвёртое и последнее неприводимое представление в C2v является результатом записи одномерной матрицы:

E C2(z) sv(xz) v(yz)
    -1 -1

 

Представления в таблице характеров C2v

В Части І таблицы характеров были представлены как выражающие итог различных операций симметрии в точечной группе, и теперь пришло время анализировать добавочную информацию, которая содержится в этих таблицах. Также нам известно, что термин «характер» относится к сумме диагональных элементов матрицы. Полная таблица характеров для точечной группы C2v приведена ниже:

С2v E C2(z) sv(xz) v(yz) h =4  
А1         z x2, y2, z2
А2     -1 -1 Rz xy
В1   -1   -1 x, Ry xz
В2   -1 -1   y, Rx yz

 

Вдоль внешней верхней строки могут быть найдены четыре операции симметрии в данной точечной группе: идентичность, ось С2 и две плоскости. Эти символы также подтверждают расположение координатных осей. Основная часть таблицы содержит характеры неприводимых представлений, которые обсуждались ранее. И поскольку эти представления являются одномерными матрицами, характеры идентичны собственно матрицам.

Буквы, записанные сверху вниз в крайнем левом столбце, используются для того, чтобы различать представления между собой с помощью особого обозначения. Полностью симметричное неприводимое представление помечается как А1 и относится к строке +1 находящейся под каждой операцией симметрии. Под ним находятся три других неприводимых представления. Обозначенных как А2, В1 и В2.

На правом краю таблицы мы можем обнаружить несколько математических функций, таких как «x» или «xy» или родственные им символы «R x» или «R y». Обычно есть два столбца с такими символами: в крайнем правом перечислены возведённые в квадрат или перемноженные между собой, например «x2», «y2» и «xy» а внутренний столбец содержит «x», «y» и «z» вместе с символами, обозначающими вращение относительно отдельных осей - «Rx».

Эти функции или символы помещены в ту же самую колонку, что и неприводимое представление, к которому они относятся и могут быть использованы как основа для того, чтобы проиллюстрировать соответствующие представления.

На рисунке 2.7 представлен результат применении различных операций симметрии этой точечной групп к вектору х1,конечным результатом которых является неприводимое представление:

E C2(z) sv(xz) v(yz)
  -1   -1

 

Это представление носит обозначение В1 в таблице характеров и его взаимосвязь с вектором х1 становится ясной если поместить функции от «х» в ту же самую строчку, что и В1:

E C2(z) sv(xz) v(yz)
В1   -1   -1 х
           

 

Существуют различные пути выражения соответствия между математической функцией и её неприводимым представлением. Один способ - сказать что «х имеет ту же самую симметрию, что и В1», или «х имеет симметрию В1», в то время как другой-сказать. Что «х - это базис представления В1». Подобным образом, функции «y» и «z» в этом столбце связаны с представлениями В2 и А1.

Для того, чтобы найти соответствующую (родственную, подобную) функцию, которая является базисом для представления А2, мы ввадим крайнюю правую колонку. Здесь представлены элементы (компоненты, составляющие), возведённые в квадрат и перемноженные между собой, и таблица характеров показывает, ч то один из них «xy» может использоваться для иллюстрации представления А2.

На рис 2.10 показано расположение dxy орбитали относительно Декартовых

Рис. 2.10

координат. Ось z перпендикулярна плоскости страницы. Волновая функция этой орбитали

Имеет те же самые свойства симметрии, что и функция «xy», в том что она положительна, когда функции х и у обе положительны или обе отрицательны, и отрицательна, если х и у имеют противоположные знаки.

Таким образом, в результате проведения четырёх операций симметрии возникают следующие взаимоотношения:

E (dxy) ® (+1) (dxy), C2 (z) (dxy) ® (+1) (dxy),

σ (xz) (dxy) ® (-1) (dxy), σv' (yz) (dxy) ® (-1) (dxy)

и коэффициенты соответствуют представлению А2.

 

Неприводимые представления в таблице характеров точечной группы D2

Таблица умножения для группы D2, которая была выведена ранее, имеет много общего с таблицей для C2v иэто сходство сохраняется когда мы сравниваем две таблицы характеров

D2 E C2(z) C2(y) C2(x) h =4  
А1   -1   -1   x2, y2, z2
В1     -1 -1 z,Rz xy
В2   -1   -1 y, Ry xz
В3   -1 -1   x, Rx yz

 

:

Таблица характеров группы D2 также имеет четыре неприводимых представления. Которые могут быть записаны как одноразмерные матрицы, и функции х, у и z снова являются подходящим базисом для трёх из них В3, В2 и В1 соответственно. В группе D2, тем не менее есть полностью симметричное представление, обозначенное как «а», которое тербует базис функций, находяшщийся в крайнем правлм столбце. Это может быть любой

Рис. 2.11

из элементов «x2», «y2» или «z2», или сумма или разность этих элементов..

На рис 2.11 показана характеристичная конфигурация dx2-y2 орбитали по отношению к трём осям С2 в этой точечной группе симметрии. Вращение вокруг любой из этих x, y, или z осей приводит к возникновению эквивалентной конфигурации. Все уравнения, описывающие влияние различных операций симметрии на dx2-y2 орбиталь поэтому содержат одноразмерную матрицу (=1).Поэтому данная орбиталь может использоваться как базис для иллюстрации представления 2А» в точечной группе D2.

 

Заключение

В этом разделе мы ознакомились со свойствами простых матриц и с их использованием в качестве представлений для операций симметрии. Представление о том, что эти операции могут формировать группу,проиллюстрировано с помощью таблиц умножения для групп, и, в частности, показано, как простые математические функции могут выступать в роли базисов неприводимых представлений в точечных группах C2v и D2. Предлагаемые ниже упражнения поспособствуют более свободному использованию матриц и дальнейшему анализу использования таблиц характеров.

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 453. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

ТЕОРИЯ ЗАЩИТНЫХ МЕХАНИЗМОВ ЛИЧНОСТИ В современной психологической литературе встречаются различные термины, касающиеся феноменов защиты...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Классификация потерь населения в очагах поражения в военное время Ядерное, химическое и бактериологическое (биологическое) оружие является оружием массового поражения...

Функциональные обязанности медсестры отделения реанимации · Медсестра отделения реанимации обязана осуществлять лечебно-профилактический и гигиенический уход за пациентами...

Определение трудоемкости работ и затрат машинного времени На основании ведомости объемов работ по объекту и норм времени ГЭСН составляется ведомость подсчёта трудоёмкости, затрат машинного времени, потребности в конструкциях, изделиях и материалах (табл...

Гидравлический расчёт трубопроводов Пример 3.4. Вентиляционная труба d=0,1м (100 мм) имеет длину l=100 м. Определить давление, которое должен развивать вентилятор, если расход воздуха, подаваемый по трубе, . Давление на выходе . Местных сопротивлений по пути не имеется. Температура...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия